Hela algebra · 2007-11-28

Uppgift 2

Uppgift 2

Låt $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ vara en given ON-bas i rummet.

(a)

För vilka $a$ är vektorerna $\mathbf{f}_1 = (-5, 2a, 1)$, $\mathbf{f}_2 = (a, 2, 1)$ och $\mathbf{f}_3 = (0, 1, -2)$ linjärt oberoende?

(b)

För vilka $a$ bildar vektorerna $\mathbf{v}_1 = \frac{\mathbf{f}_1}{\lVert\mathbf{f}_1\rVert}$, $\mathbf{v}_2 = \frac{\mathbf{f}_2}{\lVert\mathbf{f}_2\rVert}$ och $\mathbf{v}_3 = \frac{\mathbf{f}_3}{\lVert\mathbf{f}_3\rVert}$ en ON-bas?

(c)

Bestäm för alla $a$ i uppgift b) koordinaterna för vektorn $(1, 1, 0)$ i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3)$.

Visa lösningDölj lösning

(a) Determinanten är $4a^2+a-25$. Vektorerna är linjärt oberoende när den är skild från noll, alltså för $a\ne\frac{-1\pm\sqrt{401}}8$.

(b) Skalärprodukterna är $\mathbf f_1\cdot\mathbf f_2=a-1$, $\mathbf f_1\cdot\mathbf f_3=2a-2$ och $\mathbf f_2\cdot\mathbf f_3=0$. Den normaliserade trippeln är därför ortonormal precis när $a=1$.