Uppgift 1
Rita följande mängder:
(a)
$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2 - 5x + 6\le 0\}\cup\{x\in\mathbb{R}\mid x = \sqrt{10x - 16}\}$
(b)
$\{z\in\mathbb{C}\mid\lvert z + 2i\rvert\ge 2\}$
(c)
$\{(x, y)\in\mathbb{R}^2\mid 2x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0\}$
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2007-11-28
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, så den första mängden är $[2,3]$. Ekvationen $x=\sqrt{10x-16}$ har, efter kvadrering och kontroll, lösningarna $2$ och $8$. Unionen är alltså $[2,3]\cup\{8\}$.
(b) $|z+2i|\ge2$ är området på och utanför cirkeln med centrum $-2i$ och radie $2$.
(c) Kvadratkomplettering ger $\frac{(x-1)^2}{1}+\frac{(y+1)^2}{2}=1$. Detta är en ellips med centrum $(1,-1)$ och halvaxlarna $1$ och $\sqrt2$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Låt $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ vara en given ON-bas i rummet.
(a)
För vilka $a$ är vektorerna $\mathbf{f}_1 = (-5, 2a, 1)$, $\mathbf{f}_2 = (a, 2, 1)$ och $\mathbf{f}_3 = (0, 1, -2)$ linjärt oberoende?
(b)
För vilka $a$ bildar vektorerna $\mathbf{v}_1 = \frac{\mathbf{f}_1}{\lVert\mathbf{f}_1\rVert}$, $\mathbf{v}_2 = \frac{\mathbf{f}_2}{\lVert\mathbf{f}_2\rVert}$ och $\mathbf{v}_3 = \frac{\mathbf{f}_3}{\lVert\mathbf{f}_3\rVert}$ en ON-bas?
(c)
Bestäm för alla $a$ i uppgift b) koordinaterna för vektorn $(1, 1, 0)$ i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Determinanten är $4a^2+a-25$. Vektorerna är linjärt oberoende när den är skild från noll, alltså för $a\ne\frac{-1\pm\sqrt{401}}8$.
(b) Skalärprodukterna är $\mathbf f_1\cdot\mathbf f_2=a-1$, $\mathbf f_1\cdot\mathbf f_3=2a-2$ och $\mathbf f_2\cdot\mathbf f_3=0$. Den normaliserade trippeln är därför ortonormal precis när $a=1$.
(c) För $a=1$ ger koordinatsystemet lösningen $[\mathbf u]_{\mathbf f}=(-1/18,13/18,1/3)^T$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
(Positivt orienterat ON-system). Planet $2x + (a^2 + 1)y + 2(a^2 + 1)z = 2(a^2 + 1)$ skär den positiva oktanten $\{(x, y, z)\mid x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0\}$ i en triangel.
(a)
Bestäm dess hörn.
(b)
Uttryck dess area som funktion av $a$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Planets skärningar med axlarna är $T_1=(a^2+1,0,0)$, $T_2=(0,2,0)$ och $T_3=(0,0,1)$.
(b) Med sidvektorerna $T_3T_2=(0,2,-1)$ och $T_3T_1=(a^2+1,0,-1)$ fås $$A=\frac12\sqrt{5a^4+10a^2+9}.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
(a)
Bestäm projektionen av vektorn $\mathbf{u} = (x, y, z)$ på vektorn $(1, 2, 3)$.
(b)
Låt $F : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ vara projektionen av en vektor på planet $x + 2y + 3z = 0$, och $S$ speglingen i $xy$-planet $S : (x, y, z)\mapsto(x, y, -z)$. Beräkna matrisen för $T = F\circ S$. Är $T$ surjektiv?
Visa lösningDölj lösning
(a) För $\mathbf n=(1,2,3)$ är $$P_{\mathbf n}(x,y,z)=\frac{x+2y+3z}{14}(1,2,3).$$
(b) Speglingen har matrisen $A=\operatorname{diag}(1,1,-1)$ och projektionen på planet ortogonalt mot $\mathbf n$ har matrisen $$B=\frac1{14}\begin{pmatrix}13&-2&-3\\-2&10&-6\\-3&-6&5\end{pmatrix}.$$ Den sammansatta avbildningen $F\circ S$ har därför matris $$BA=\frac1{14}\begin{pmatrix}13&-2&3\\-2&10&6\\-3&-6&-5\end{pmatrix}.$$ Bilden ligger i ett plan, så avbildningen är inte surjektiv.
#Uppgift 5
Uppgift 5
(a)
Bestäm för varje värde på konstanten $a$ alla gemensamma punkter till de tre planen
$$\begin{aligned} \Pi_1 &= \{(x, y, z)\mid x + 2y - 3z = 3\}, \\ \Pi_2 &= \{(x, y, z)\mid a^2x + (2a + 4)y - (3a + 6)z = 3a + 6\} \\ \text{och }\Pi_3 &= \{(x, y, z)\mid x + ay - 3z = 5 - a\}. \end{aligned}$$
(b)
Det finns en linje, som innehålls i planet givet av ekvationen $ax + by + (a + b)z = 2(a + b)$ för alla värden på $a$ och $b$. Beskriv denna linje på parameterform.
Visa lösningDölj lösning
(a) För $a\ne2$ ger tredje ekvationen minus den första $y=-1$. Vidare fås $(a-2)(a+1)x=0$. Alltså: för $a\ne-1,2$ är lösningen $(x,y,z)=(0,-1,-5/3)$; för $a=-1$ är lösningarna linjen $y=-1$, $x-3z=5$; för $a=2$ är lösningsmängden planet $x+2y-3z=3$.
(b) Linjen $$(x,y,z)=(2,2,0)+t(-1,-1,1)$$ ligger i varje plan $ax+by+(a+b)z=2(a+b)$, eftersom vänsterledet identiskt är $2(a+b)$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Polynomet $q(x) = (x^2 - 20)p(x) + x$, där $p(x)$ är ett visst polynom, om vilket det är känt att $p(5) = 1$.
(a)
Bestäm resten av $q(x)$ vid division med $x - 5$.
(b)
Antag vidare att $q(2) = 3$. Bestäm resten av $q(x)$ vid division med $(x - 5)(x - 2)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Faktorsatsen ger $q(5)=(5^2-20)p(5)+5=10$.
(b) Resten vid division med $(x-5)(x-2)$ är $Ax+B$. Villkoren $2A+B=3$ och $5A+B=1$ ger resten $-\frac23x+\frac73$.