Hela algebra · 2007-11-28
Bestäm projektionen av vektorn $\mathbf{u} = (x, y, z)$ på vektorn $(1, 2, 3)$.
Låt $F : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ vara projektionen av en vektor på planet $x + 2y + 3z = 0$, och $S$ speglingen i $xy$-planet $S : (x, y, z)\mapsto(x, y, -z)$. Beräkna matrisen för $T = F\circ S$. Är $T$ surjektiv?
(a) För $\mathbf n=(1,2,3)$ är $$P_{\mathbf n}(x,y,z)=\frac{x+2y+3z}{14}(1,2,3).$$
(b) Speglingen har matrisen $A=\operatorname{diag}(1,1,-1)$ och projektionen på planet ortogonalt mot $\mathbf n$ har matrisen $$B=\frac1{14}\begin{pmatrix}13&-2&-3\\-2&10&-6\\-3&-6&5\end{pmatrix}.$$ Den sammansatta avbildningen $F\circ S$ har därför matris $$BA=\frac1{14}\begin{pmatrix}13&-2&3\\-2&10&6\\-3&-6&-5\end{pmatrix}.$$ Bilden ligger i ett plan, så avbildningen är inte surjektiv.