Hela algebra · 2007-11-28

Uppgift 5

Rikard Bøgvad Analytisk geometri Konstruktion

Uppgift 5

(a)

Bestäm för varje värde på konstanten $a$ alla gemensamma punkter till de tre planen

$$\begin{aligned} \Pi_1 &= \{(x, y, z)\mid x + 2y - 3z = 3\}, \\ \Pi_2 &= \{(x, y, z)\mid a^2x + (2a + 4)y - (3a + 6)z = 3a + 6\} \\ \text{och }\Pi_3 &= \{(x, y, z)\mid x + ay - 3z = 5 - a\}. \end{aligned}$$

(b)

Det finns en linje, som innehålls i planet givet av ekvationen $ax + by + (a + b)z = 2(a + b)$ för alla värden på $a$ och $b$. Beskriv denna linje på parameterform.

Visa lösningDölj lösning

(a) För $a\ne2$ ger tredje ekvationen minus den första $y=-1$. Vidare fås $(a-2)(a+1)x=0$. Alltså: för $a\ne-1,2$ är lösningen $(x,y,z)=(0,-1,-5/3)$; för $a=-1$ är lösningarna linjen $y=-1$, $x-3z=5$; för $a=2$ är lösningsmängden planet $x+2y-3z=3$.

(b) Linjen $$(x,y,z)=(2,2,0)+t(-1,-1,1)$$ ligger i varje plan $ax+by+(a+b)z=2(a+b)$, eftersom vänsterledet identiskt är $2(a+b)$.