Hela algebra · 2008-01-10
(Positivt orienterat ON-system). Planet $2x + y + 2z = 2$ skär planet $2x + 2y + 3z = 3$ i en linje $\ell$.
Bestäm linjens ekvation på parameterform.
Tre linjer givna på parameterform av $(x, y, z) = t(1, 1, 1)$, $(x, y, z) = t(1, 1, 0)$ samt $(x, y, z) = (1, 1, 2) + t(1, 1, 1)$ skär varandra parvis i tre punkter. Bestäm arean av den triangel dessa tre punkter definierar.
(a) Subtraktion av den första planekvationen från den andra ger $y+z=1$. Sätter vi $z=t$ får vi $y=1-t$, och den första ekvationen ger $2x+t=1$. Alltså är skärningslinjen
$$
(x,y,z)=\left(\frac{1-t}{2},1-t,t\right),\qquad t\in\mathbb R.
$$
(b) Den första och den tredje linjen har samma riktningsvektor $(1,1,1)$ men går genom olika punkter. De är därför parallella och skär inte varandra. De tre linjerna skär alltså inte varandra parvis och bestämmer ingen triangel; deluppgiften är felaktigt formulerad.