MM2001 · Hela algebra
Rita följande mängder:
$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2 - 6x + 5\le 0\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid x = \lvert 2x - 1\rvert\}$
$\{\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^k,\ k = 0, 1, 2, \dots\}$
$\{(x, y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2 - y^2 - 2x + 2y + 1 = 0\}$
(a) $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, så den första mängden är $[1,5]$. Ekvationen $x=|2x-1|$ ger fallen $x=1$ och $x=1/3$. Snittet är därför $\{1\}$.
(b) $\alpha=(1+i)/\sqrt2=e^{i\pi/4}$; dess potenser är de åtta hörnen i en regelbunden åttahörning på enhetscirkeln.
(c) Ekvationen blir $(y-1)^2-(x-1)^2=1$, en hyperbel med centrum $(1,1)$, hörn $(1,0),(1,2)$ och asymptoterna $y=x$ och $y=2-x$.
Låt $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ vara en given ON-bas i rummet.
För vilka $a$ är vektorerna $\mathbf{f}_1 = (1, 1, 1)$, $\mathbf{f}_2 = (0, 2, -1)$ och $\mathbf{f}_3 = (0, 1, a)$ linjärt oberoende?
Bestäm vinkeln mellan $\mathbf{f}_1$ och $\mathbf{f}_2$ (uttryck innehållande $\arccos$ är tillåtna).
Låt $\mathbf{v} = (1, 1, 0)$ (i $\mathbf{e}$-basen). Bestäm för alla $a$ i uppgift a) sådana att vektorerna $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$ och $\mathbf{f}_3$ är en bas, koordinaterna för vektorn $(1, 1, 0)$ i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3)$.
(a) Determinanten för de tre vektorerna är $1+2a$, så de är linjärt oberoende när $a\ne-1/2$.
(b) $\cos\alpha=(\mathbf f_1\cdot\mathbf f_2)/(\lVert\mathbf f_1\rVert\lVert\mathbf f_2\rVert)=1/\sqrt{15}$, alltså $\alpha=\arccos(1/\sqrt{15})$.
(c) För $a\ne-1/2$ ger koordinatsystemet $$[\mathbf u]_{\mathbf f}=\left(1,\frac1{1+2a},-\frac2{1+2a}\right)^T.$$
(Positivt orienterat ON-system). Planet $2x + y + 2z = 2$ skär planet $2x + 2y + 3z = 3$ i en linje $\ell$.
Bestäm linjens ekvation på parameterform.
Tre linjer givna på parameterform av $(x, y, z) = t(1, 1, 1)$, $(x, y, z) = t(1, 1, 0)$ samt $(x, y, z) = (1, 1, 2) + t(1, 1, 1)$ skär varandra parvis i tre punkter. Bestäm arean av den triangel dessa tre punkter definierar.
(a) Subtraktion av den första planekvationen från den andra ger $y+z=1$. Sätter vi $z=t$ får vi $y=1-t$, och den första ekvationen ger $2x+t=1$. Alltså är skärningslinjen
$$
(x,y,z)=\left(\frac{1-t}{2},1-t,t\right),\qquad t\in\mathbb R.
$$
(b) Den första och den tredje linjen har samma riktningsvektor $(1,1,1)$ men går genom olika punkter. De är därför parallella och skär inte varandra. De tre linjerna skär alltså inte varandra parvis och bestämmer ingen triangel; deluppgiften är felaktigt formulerad.
(Positivt orienterat ON-system).
Bestäm avståndet från punkten $(1, 1, 1)$ till planet $x + 2y + 3z = 0$.
Låt $F : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ vara den linjära transformationen vars effekt på basvektorerna är given av $F(\mathbf{e}_1) = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3$, $F(\mathbf{e}_2) = \mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ och $F(\mathbf{e}_3) = \mathbf{e}_3$. $S$ är speglingen i $xy$-planet $S : (x, y, z)\mapsto(x, y, -z)$. Beräkna matrisen för $T = F\circ S$. Är $T$ injektiv?
(a) Med $\mathbf n=(1,2,3)$ blir avståndet från $(1,1,1)$ till planet genom origo $$\frac{|(1,1,1)\cdot\mathbf n|}{\lVert\mathbf n\rVert}=\frac6{\sqrt{14}}.$$
(b) $$[F]_{\mathbf e}=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\1&3&1\end{pmatrix},\qquad[S]_{\mathbf e}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$ Alltså $$[F\circ S]_{\mathbf e}=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\1&3&-1\end{pmatrix}.$$ Determinanten är $-1$, så avbildningen är injektiv.
Lös för varje värde på konstanten $a$ ekvationssystemet
$$\begin{cases} x + 2y - 3z = 3 \\ x + (a + 2)y - (a + 3)z = 3a + 3 \\ x + 2y - 2z = 5. \end{cases}$$
För varje värde på $a$ är $x - 2ay + a^2z = (a - 1)^2$ ekvationen för ett plan. Visa att det finns precis en punkt, som innehålls i alla plan, d v s för alla $a$, och hitta den.
(a) Efter elimination fås $z=2$ och $a(y-z)=3a$. För $a\ne0$ är lösningen $(-1,5,2)$. För $a=0$ är lösningarna $(9-2t,t,2)$.
(b) Planen för $a=0,1,-1$ har den enda gemensamma punkten $(1,1,1)$; den ligger därmed i alla plan i familjen.
Polynomet $q(x) = (x + 14)p(x) + x$, där $p(x)$ är ett visst polynom, om vilket det är känt att $p(5) = 1$.
Bestäm resten av $q(x)$ vid division med $x - 5$. (Här är det viktigt att motivera din lösning extra väl!)
Antag vidare att $q(3) = 3$. Bestäm resten av $q(x)$ vid division med $(x - 5)(x - 3)$.
(a) Faktorsatsen ger $q(5)=(5+14)p(5)+5=24$.
(b) Resten är $Ax+B$. Av $3A+B=3$ och $5A+B=24$ fås $A=21/2$, $B=-57/2$, alltså $\frac{21}2x-\frac{57}2$.