Hela algebra · 2008-01-10

Uppgift 4

Uppgift 4

(Positivt orienterat ON-system).

(a)

Bestäm avståndet från punkten $(1, 1, 1)$ till planet $x + 2y + 3z = 0$.

(b)

Låt $F : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ vara den linjära transformationen vars effekt på basvektorerna är given av $F(\mathbf{e}_1) = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3$, $F(\mathbf{e}_2) = \mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ och $F(\mathbf{e}_3) = \mathbf{e}_3$. $S$ är speglingen i $xy$-planet $S : (x, y, z)\mapsto(x, y, -z)$. Beräkna matrisen för $T = F\circ S$. Är $T$ injektiv?

Visa lösningDölj lösning

(a) Med $\mathbf n=(1,2,3)$ blir avståndet från $(1,1,1)$ till planet genom origo $$\frac{|(1,1,1)\cdot\mathbf n|}{\lVert\mathbf n\rVert}=\frac6{\sqrt{14}}.$$

(b) $$[F]_{\mathbf e}=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\1&3&1\end{pmatrix},\qquad[S]_{\mathbf e}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$ Alltså $$[F\circ S]_{\mathbf e}=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\1&3&-1\end{pmatrix}.$$ Determinanten är $-1$, så avbildningen är injektiv.