Hela algebra · 2008-01-10

Uppgift 5

Uppgift 5

(a)

Lös för varje värde på konstanten $a$ ekvationssystemet

$$\begin{cases} x + 2y - 3z = 3 \\ x + (a + 2)y - (a + 3)z = 3a + 3 \\ x + 2y - 2z = 5. \end{cases}$$

(b)

För varje värde på $a$ är $x - 2ay + a^2z = (a - 1)^2$ ekvationen för ett plan. Visa att det finns precis en punkt, som innehålls i alla plan, d v s för alla $a$, och hitta den.

Visa lösningDölj lösning

(a) Efter elimination fås $z=2$ och $a(y-z)=3a$. För $a\ne0$ är lösningen $(-1,5,2)$. För $a=0$ är lösningarna $(9-2t,t,2)$.

(b) Planen för $a=0,1,-1$ har den enda gemensamma punkten $(1,1,1)$; den ligger därmed i alla plan i familjen.