Hela algebra · 2008-05-07

Uppgift 3

Jörgen Backelin Analytisk geometri Beräkning

Uppgift 3

(Positivt orienterat ON-system.) Om planet $\Pi$ vet man följande: Skärningslinjen mellan planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ bildar rät vinkel mot $\Pi$, och mittpunkten på sträckan $AB$ ligger i $\Pi$. Vidare känner man till ekvationer för planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ och koordinaterna för punkterna $A$ och $B$:

$$\Pi_1 : x + 2y + z = 58, \qquad \Pi_2 : y - z = -399, \qquad A : (2, 5, -1), \qquad B : (6, 3, 7).$$

Bestäm en ekvation för planet $\Pi$.

Visa lösningDölj lösningⓘ

Planens normalvektorer är $\mathbf n_1=(1,2,1)$ och $\mathbf n_2=(0,1,-1)$. Skärningslinjen har därför riktningsvektor

$$\mathbf n_1\times\mathbf n_2=(-3,1,1).$$

Eftersom skärningslinjen är vinkelrät mot $\Pi$ kan denna vektor användas som normal till $\Pi$. Mittpunkten på $AB$ är $(4,4,3)$, och planets ekvation blir

$$-3(x-4)+(y-4)+(z-3)=0,$$

det vill säga

$$3x-y-z=5.$$