MM2001 · Hela algebra
Rita följande mängder:
$\{x\in\mathbb{R}\mid\lvert 2 - x\rvert < 1\}\cup\{x\in\mathbb{R}\mid 2x + 1 = x - 1\}$.
$\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Re} z + \operatorname{Im} z = 3\}$.
$\{(x, y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2 - 6x = 8y - y^2\}$.
(a) Olikheten $\lvert 2-x\rvert<1$ ger $1<x<3$, medan $2x+1=x-1$ ger $x=-2$. Mängden är alltså
$$\{-2\}\cup(1,3).$$
(b) Skriv $z=x+iy$. Villkoret blir $x+y=3$, alltså en rät linje i komplexplanet.
(c) Kvadratkomplettering ger
$$x^2-6x+y^2-8y=0\iff (x-3)^2+(y-4)^2=25.$$
Mängden är cirkeln med centrum $(3,4)$ och radie $5$.
Polynomet $p(z)$ med komplexa koefficienter får resten $3$ vid division med $z - 1$ och resten $i$ vid division med $z - i$. Vilken blir resten $r(z)$ vid division med $(z - 1)(z - i)$?
Resten har grad högst ett, så skriv $r(z)=az+b$. Restvillkoren ger
$$a+b=3,\qquad ai+b=i.$$
Därav följer $a=2+i$ och $b=1-i$. Alltså är
$$r(z)=(2+i)z+1-i.$$
(Positivt orienterat ON-system.) Om planet $\Pi$ vet man följande: Skärningslinjen mellan planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ bildar rät vinkel mot $\Pi$, och mittpunkten på sträckan $AB$ ligger i $\Pi$. Vidare känner man till ekvationer för planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ och koordinaterna för punkterna $A$ och $B$:
$$\Pi_1 : x + 2y + z = 58, \qquad \Pi_2 : y - z = -399, \qquad A : (2, 5, -1), \qquad B : (6, 3, 7).$$
Bestäm en ekvation för planet $\Pi$.
Planens normalvektorer är $\mathbf n_1=(1,2,1)$ och $\mathbf n_2=(0,1,-1)$. Skärningslinjen har därför riktningsvektor
$$\mathbf n_1\times\mathbf n_2=(-3,1,1).$$
Eftersom skärningslinjen är vinkelrät mot $\Pi$ kan denna vektor användas som normal till $\Pi$. Mittpunkten på $AB$ är $(4,4,3)$, och planets ekvation blir
$$-3(x-4)+(y-4)+(z-3)=0,$$
det vill säga
$$3x-y-z=5.$$
Avgör för varje enskilt (reellt) värde på konstanten $a$ huruvida ekvationssystemet
$$\begin{cases} x - y + (a + 1)z = 0 \\ 2x - y + az = 3 - a \\ x + (a + 2)y + (2a + 3)z = 2a + 1 \end{cases}$$
saknar lösning, har en unik lösning, eller har oändligt många lösningar.
Lös systemet fullständigt i det eller de fall det har oändligt många lösningar.
Koefficientmatrisens determinant är
$$\det A=(a+2)(a+4).$$
För $a\notin\{-2,-4\}$ har systemet därför en unik lösning. För $a=-2$ är koefficientmatrisens rang $2$, medan den utökade matrisens rang är $3$, så systemet saknar lösning. För $a=-4$ har båda matriserna rang $2$, och systemet har oändligt många lösningar.
I det sistnämnda fallet fås med parametern $t\in\mathbb R$
$$(x,y,z)=(7+t,\,7-2t,\,t).$$
För vilka $a$ är vektorerna $(1, 2, 4)$, $(a, 1, 2)$ och $(1, 1, a)$ linjärt beroende?
Vektorerna är linjärt beroende precis när determinanten med vektorerna som kolonner är noll:
$$\det\begin{pmatrix}1&a&1\\2&1&1\\4&2&a\end{pmatrix}=-(a-2)(2a-1).$$
Alltså är vektorerna linjärt beroende för
$$a=2\quad\text{eller}\quad a=\frac12.$$
En viss linjär avbildning på rummet ges i en viss bas av att vektorn med koordinaterna $(x, y, z)$ avbildas på vektorn med koordinaterna $(4x - (3 + c^2)y + (5 + c)z, (1 + c + c^2)(2x + 7y + 5 - 2z) + (4c^2 - 1)(2y - x - 1), (2c - 3)x + (3c - 2)y - c^2z + c^3 + 6c^2 + 12c + 8)$, för en viss (reell) konstant $c$. Bestäm $c$ samt avbildningsmatrisen för den givna avbildningen.
Eftersom avbildningen är linjär måste konstanttermerna i de tre koordinaterna vara noll. De två icke-triviala konstanttermerna faktoriseras som
$$(c+2)(c+3)\quad\text{och}\quad(c+2)^3.$$
De försvinner samtidigt endast för $c=-2$. Insättning och förenkling ger
$$T(x,y,z)=(4x-7y+3z,\,-9x+51y-6z,\,-7x-8y-4z).$$
Avbildningsmatrisen i den givna basen är alltså
$$\begin{pmatrix}4&-7&3\\-9&51&-6\\-7&-8&-4\end{pmatrix}.$$