Hela algebra · 2008-05-07
En viss linjär avbildning på rummet ges i en viss bas av att vektorn med koordinaterna $(x, y, z)$ avbildas på vektorn med koordinaterna $(4x - (3 + c^2)y + (5 + c)z, (1 + c + c^2)(2x + 7y + 5 - 2z) + (4c^2 - 1)(2y - x - 1), (2c - 3)x + (3c - 2)y - c^2z + c^3 + 6c^2 + 12c + 8)$, för en viss (reell) konstant $c$. Bestäm $c$ samt avbildningsmatrisen för den givna avbildningen.
Eftersom avbildningen är linjär måste konstanttermerna i de tre koordinaterna vara noll. De två icke-triviala konstanttermerna faktoriseras som
$$(c+2)(c+3)\quad\text{och}\quad(c+2)^3.$$
De försvinner samtidigt endast för $c=-2$. Insättning och förenkling ger
$$T(x,y,z)=(4x-7y+3z,\,-9x+51y-6z,\,-7x-8y-4z).$$
Avbildningsmatrisen i den givna basen är alltså
$$\begin{pmatrix}4&-7&3\\-9&51&-6\\-7&-8&-4\end{pmatrix}.$$