Hela algebra · 2008-05-07
Avgör för varje enskilt (reellt) värde på konstanten $a$ huruvida ekvationssystemet
$$\begin{cases} x - y + (a + 1)z = 0 \\ 2x - y + az = 3 - a \\ x + (a + 2)y + (2a + 3)z = 2a + 1 \end{cases}$$
saknar lösning, har en unik lösning, eller har oändligt många lösningar.
Lös systemet fullständigt i det eller de fall det har oändligt många lösningar.
Koefficientmatrisens determinant är
$$\det A=(a+2)(a+4).$$
För $a\notin\{-2,-4\}$ har systemet därför en unik lösning. För $a=-2$ är koefficientmatrisens rang $2$, medan den utökade matrisens rang är $3$, så systemet saknar lösning. För $a=-4$ har båda matriserna rang $2$, och systemet har oändligt många lösningar.
I det sistnämnda fallet fås med parametern $t\in\mathbb R$
$$(x,y,z)=(7+t,\,7-2t,\,t).$$