Uppgifter

Beräkna $f^{(17)}(0)$ då $f(x)=x\cos(x^4)+\frac{x^9}{2}$.

Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}x^8\left(1-2x^8+2x^8\cos\left(\frac1{x^4}\right)\right)$.

Bestäm största och minsta värde till funktionen $f(x,y)=x^2+y^2-2x-2y-1$ i det område som definieras av $x^2+y^2\le16$.

Beräkna, med hjälp av integral, arean av den rotationsyta som uppstår när kurvan $x^2+y^2=16$ får rotera runt $x$-axeln.

Beräkna dubbelintegralen $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy$, där $D=\{(x,y):y\ge\lvert x\rvert,\ x^2+y^2\le1\}$.

Låt $g(r,t)=f(2r\cos t,r\sin t)$. Beräkna $\frac{\partial g}{\partial r}$ och $\frac{\partial g}{\partial t}$ med kedjeregeln i två variabler. Bestäm därefter tangentplanet till ytan $s=g(r,t)$ i punkten $(0,0,1)$.

Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen $y^\prime+\frac{5xy}{1+x^2}=0$. Bestäm den lösning till ekvationen $y^\prime+\frac{5xy}{1+x^2}=2x$ som uppfyller $y(0)=\frac72$.

Beräkna den allmänna lösningen till differentialekvationen $y^\prime\prime+2y^\prime+y=e^{-x}$.

Bestäm samtliga asymptoter till grafen av

$$f(x)=\frac{\sin(x)+5x^2}{x}.$$

Visa att funktionen

$$g(x)=(e^x+x)^3,\qquad x\in\mathbb{R},$$

är strängt växande.

Finn alla lokala minimi- och maximipunkter av $f$.

Undersök funktionens beteende när $x\to\pm\infty$.

Skissera grafen av $f$. (Konvexitet behöver inte undersökas.)

Tips: $e^{-3}\approx 0{,}05$.

Bestäm

$$\int s\ln(s)\,ds.$$

Undersök huruvida den generaliserade integralen

$$\int_0^\infty\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$$

konvergerar och bestäm i förekommande fall dess värde.

Beräkna tangenten till grafen av $f(x)=x^{\frac{2}{x}}$ i punkten $(1,1)$.

Antag att den deriverbara funktionen $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ är jämn, dvs.

$$g(-x)=g(x)\text{ för alla }x\in\mathbb{R}.$$

Visa utifrån derivatans definition att även $h(x)=xg'(x)$ är jämn.

Finn $\operatorname{SGD}(240,154)$ med Euklides algoritm.

Beräkna resten då $5^{40}$ delas med 11.

Ge exempel på en mängd $A$ sådan att $\lvert A\times A\rvert=9$, där mängden $A\times A$ består av alla ordnade par av element ur mängden $A$.

Avgör om följande påstående är sant eller falskt för $x,y\in\mathbb{R}$: $\forall x\,\exists y\,(x^2+y=10)$. Motivera noga.

Låt $A,B,C$ vara mängder. Visa att $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)$ genom att använda mängdlärans definitioner.

Visa att $x-1$ är en faktor i $p(x)=x^4-3x^3+x^2+3x-2$ och finn samtliga reella nollställen.

Bestäm ett reellt polynom $q(x)$ av lägsta möjliga grad som har nollställen i $x=2$ och $x=i$.

Lös ekvationen $\lvert x-1\rvert+\lvert 2x+4\rvert=6$ för $x\in\mathbb{R}$.

Lös olikheten $\lvert 3x-2\rvert<5$.

Hur många unika ord med 6 bokstäver kan bildas av bokstäverna i ”KOKOS”?

En kommitté på 4 personer ska väljas från en grupp av 6 män och 5 kvinnor. Hur många sådana kommittéer kan bildas om den måste innehålla minst två kvinnor?

Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$ för alla $n\ge1$.

Formulera de induktionsantaganden som används i detalj.

Beräkna $f^{(12)}(0)$ om $f(x)=\sqrt{1+x^6}$.

Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}\left(\left(x^3-x^2+\frac{x}{2}\right)e^{1/x}-\sqrt{1+x^6}\right)$.

Bestäm största och minsta värde till funktionen $f(x,y)=\frac13x^3+y^2-xy$ i den kvadrat som har hörn i punkterna $(0,0),(0,2),(2,2)$ och $(2,0)$.

Beräkna tangenten till kurvan $f(x,y)=4$ i punkten $(0,2)$.

Beräkna dubbelintegralen $\iint_D\sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy$, där $D=\{(x,y):0\le y\le x,\ x^2+y^2\le\pi^2\}$.

Beräkna volymen till den kropp som uppstår när $D$ roteras kring $x$-axeln.