Uppgift 3
Låt $f(x)=(x^4-x^2-1)e^{-x^2}$.
(a)
Finn alla lokala minimi- och maximipunkter av $f$.
(b)
Undersök funktionens beteende när $x\to\pm\infty$.
(c)
Skissera grafen av $f$. (Konvexitet behöver inte undersökas.)
Tips: $e^{-3}\approx 0{,}05$.
Analys I · 2026-08-14
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
(a) Funktionen är deriverbar på hela $\mathbb R$ och $$f'(x)=(4x^3-2x)e^{-x^2}+(x^4-x^2-1)e^{-x^2}(-2x)=(-2x^5+6x^3)e^{-x^2}=-2x^3(x^2-3)e^{-x^2}.$$ Derivatans nollställen är $x=0$ och $x=\pm\sqrt3$. Teckentabellen visar att $x=\pm\sqrt3$ ger lokala maximi- och $x=0$ en lokal minimipunkt.
(b) Då $x\to\pm\infty$ gäller $$f(x)=\frac{x^4}{e^{x^2}}-\frac{x^2}{e^{x^2}}-\frac1{e^{x^2}}\to0,$$ enligt standardgränsvärdet $x^a/a^x\to0$.
(c) Värdetabellen ger $f(-\sqrt3)=5e^{-3}$, $f(0)=-1$ och $f(\sqrt3)=5e^{-3}$, där $5e^{-3}\approx0{,}25$. Grafen skissas därefter.