MM2001 · Analys I
Beräkna följande gränsvärden eller visa att de inte existerar:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(4x)}{e^{3x}-1},\qquad\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^4+5x^2-2}-x^2\right).$$
Endast metoder från Analys del 1 får användas. I synnerhet är varken l’Hopitals regel eller Maclaurinutveckling tillåtna.
(a) $$\frac{\sin(4x)}{e^{3x}-1}=\frac43\frac{\sin(4x)}{4x}\frac{3x}{e^{3x}-1}\to\frac43,$$ då $x\to0$.
(b) $$\sqrt{x^4+5x^2-2}-x^2=\frac{5x^2-2}{\sqrt{x^4+5x^2-2}+x^2}=\frac{5-2/x^2}{\sqrt{1+5/x^2-2/x^4}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac52.$$
Bestäm samtliga asymptoter till grafen av
$$f(x)=\frac{\sin(x)+5x^2}{x}.$$
Visa att funktionen
$$g(x)=(e^x+x)^3,\qquad x\in\mathbb{R},$$
är strängt växande.
(a) Vertikala asymptoter: enda kandidat $x=0$, $$f(x)=\frac{\sin x}{x}+5x\to1$$ då $x\to0$. Alltså ingen vertikal asymptot. Asymptoter vid $\pm\infty$: $$f(x)=\sin x\cdot\frac1x+5x,$$ där $\sin x\cdot1/x\to0$ då $x\to\pm\infty$, eftersom $\sin x$ är begränsad. Alltså är $y=5x$ asymptot i båda riktningarna.
(b) Vi undersöker monotonin med hjälp av derivatan. $$g'(x)=3(e^x+x)^2(e^x+1)\ge0.$$ Derivatan blir noll om och endast om $e^x+x=0$, ekvivalent $e^x=-x$. Då $e^x$ är växande och $-x$ strikt avtagande har deras grafer högst en skärningspunkt, alltså har $e^x+x=0$ högst en lösning. Så $g'(x)>0$ förutom möjligen i en punkt, och $g$ är strikt växande.
Låt $f(x)=(x^4-x^2-1)e^{-x^2}$.
Finn alla lokala minimi- och maximipunkter av $f$.
Undersök funktionens beteende när $x\to\pm\infty$.
Skissera grafen av $f$. (Konvexitet behöver inte undersökas.)
Tips: $e^{-3}\approx 0{,}05$.
(a) Funktionen är deriverbar på hela $\mathbb R$ och $$f'(x)=(4x^3-2x)e^{-x^2}+(x^4-x^2-1)e^{-x^2}(-2x)=(-2x^5+6x^3)e^{-x^2}=-2x^3(x^2-3)e^{-x^2}.$$ Derivatans nollställen är $x=0$ och $x=\pm\sqrt3$. Teckentabellen visar att $x=\pm\sqrt3$ ger lokala maximi- och $x=0$ en lokal minimipunkt.
(b) Då $x\to\pm\infty$ gäller $$f(x)=\frac{x^4}{e^{x^2}}-\frac{x^2}{e^{x^2}}-\frac1{e^{x^2}}\to0,$$ enligt standardgränsvärdet $x^a/a^x\to0$.
(c) Värdetabellen ger $f(-\sqrt3)=5e^{-3}$, $f(0)=-1$ och $f(\sqrt3)=5e^{-3}$, där $5e^{-3}\approx0{,}25$. Grafen skissas därefter.
Bestäm
$$\int s\ln(s)\,ds.$$
Undersök huruvida den generaliserade integralen
$$\int_0^\infty\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$$
konvergerar och bestäm i förekommande fall dess värde.
(a) Partiell integration ger $$\int x\ln(x)\,dx=-\int\frac12x^2\frac1x\,dx+\frac12x^2\ln(x)=-\frac12\int x\,dx+\frac12x^2\ln(x)=\frac12\left(-\frac{x^2}{2}+x^2\ln(x)+C\right),\qquad C\in\mathbb R.$$
(b) Integralen är generaliserad vid både $0$ och $\infty$. Med substitutionen $t=\sqrt{x}$, $dt=\frac1{2\sqrt{x}}dx$, får vi $$\int\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=-\frac23e^{-3\sqrt{x}}+C.$$ Därför $$\int_0^1\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{a\to0^+}\left[-\frac23e^{-3\sqrt{x}}\right]_a^1=-\frac23e^{-3}+\frac23,$$ och $$\int_1^\infty\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac23e^{-3\sqrt{x}}\right]_1^b=\frac23e^{-3}.$$ Alltså konvergerar integralen och $$\int_0^\infty\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\frac23.$$
Beräkna tangenten till grafen av $f(x)=x^{\frac{2}{x}}$ i punkten $(1,1)$.
Antag att den deriverbara funktionen $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ är jämn, dvs.
$$g(-x)=g(x)\text{ för alla }x\in\mathbb{R}.$$
Visa utifrån derivatans definition att även $h(x)=xg'(x)$ är jämn.
(a) $$f(x)=x^{2/x}=e^{(2/x)\ln x},\qquad f'(x)=2e^{(2/x)\ln x}\frac{(1/x)x-\ln x}{x^2},$$ så $f'(1)=2$. Tangenten i $(1,1)$ är $$y=2(x-1)+1=2x-1.$$
(b) $$h(-x)=-xg'(-x)=-x\lim_{h\to0}\frac{g(-x+h)-g(-x)}h=-x\lim_{h\to0}\frac{g(x-h)-g(x)}h.$$ Med $k=-h$ får vi $$h(-x)=x\lim_{k\to0}\frac{g(x+k)-g(x)}k=xg'(x),$$ för alla $x\in\mathbb R$.