Analys I · 2026-08-14
Beräkna tangenten till grafen av $f(x)=x^{\frac{2}{x}}$ i punkten $(1,1)$.
Antag att den deriverbara funktionen $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ är jämn, dvs.
$$g(-x)=g(x)\text{ för alla }x\in\mathbb{R}.$$
Visa utifrån derivatans definition att även $h(x)=xg'(x)$ är jämn.
(a) $$f(x)=x^{2/x}=e^{(2/x)\ln x},\qquad f'(x)=2e^{(2/x)\ln x}\frac{(1/x)x-\ln x}{x^2},$$ så $f'(1)=2$. Tangenten i $(1,1)$ är $$y=2(x-1)+1=2x-1.$$
(b) $$h(-x)=-xg'(-x)=-x\lim_{h\to0}\frac{g(-x+h)-g(-x)}h=-x\lim_{h\to0}\frac{g(x-h)-g(x)}h.$$ Med $k=-h$ får vi $$h(-x)=x\lim_{k\to0}\frac{g(x+k)-g(x)}k=xg'(x),$$ för alla $x\in\mathbb R$.