Uppgift 2

(a) Vertikala asymptoter: enda kandidat $x=0$, $$f(x)=\frac{\sin x}{x}+5x\to1$$ då $x\to0$. Alltså ingen vertikal asymptot. Asymptoter vid $\pm\infty$: $$f(x)=\sin x\cdot\frac1x+5x,$$ där $\sin x\cdot1/x\to0$ då $x\to\pm\infty$, eftersom $\sin x$ är begränsad. Alltså är $y=5x$ asymptot i båda riktningarna.

(b) Vi undersöker monotonin med hjälp av derivatan. $$g'(x)=3(e^x+x)^2(e^x+1)\ge0.$$ Derivatan blir noll om och endast om $e^x+x=0$, ekvivalent $e^x=-x$. Då $e^x$ är växande och $-x$ strikt avtagande har deras grafer högst en skärningspunkt, alltså har $e^x+x=0$ högst en lösning. Så $g'(x)>0$ förutom möjligen i en punkt, och $g$ är strikt växande.