Uppgift 4

(a) Partiell integration ger $$\int x\ln(x)\,dx=-\int\frac12x^2\frac1x\,dx+\frac12x^2\ln(x)=-\frac12\int x\,dx+\frac12x^2\ln(x)=\frac12\left(-\frac{x^2}{2}+x^2\ln(x)+C\right),\qquad C\in\mathbb R.$$

(b) Integralen är generaliserad vid både $0$ och $\infty$. Med substitutionen $t=\sqrt{x}$, $dt=\frac1{2\sqrt{x}}dx$, får vi $$\int\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=-\frac23e^{-3\sqrt{x}}+C.$$ Därför $$\int_0^1\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{a\to0^+}\left[-\frac23e^{-3\sqrt{x}}\right]_a^1=-\frac23e^{-3}+\frac23,$$ och $$\int_1^\infty\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac23e^{-3\sqrt{x}}\right]_1^b=\frac23e^{-3}.$$ Alltså konvergerar integralen och $$\int_0^\infty\frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\frac23.$$