Diskret matematik · 2026-08-11
Logik och mängdlära.
Avgör om följande påstående är sant eller falskt för $x,y\in\mathbb{R}$: $\forall x\,\exists y\,(x^2+y=10)$. Motivera noga.
Låt $A,B,C$ vara mängder. Visa att $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)$ genom att använda mängdlärans definitioner.
(a) Påståendet
$$
\forall x\ \exists y\,(x^2+y=10)
$$
är sant. Låt $x\in\mathbb R$ vara godtyckligt och välj $y=10-x^2$. Då är $y\in\mathbb R$ och $x^2+y=x^2+(10-x^2)=10$. Det finns alltså ett sådant $y$ för varje reellt $x$.
(b) Vi visar att ett godtyckligt element $x$ tillhör vänsterledet om och endast om det tillhör högerledet:
\[
\begin{aligned}
x\in(A\setminus B)\setminus C
&\Longleftrightarrow x\in A\setminus B\text{ och }x\notin C\\
&\Longleftrightarrow x\in A,\ x\notin B\text{ och }x\notin C\\
&\Longleftrightarrow x\in A\text{ och }x\notin(B\cup C)\\
&\Longleftrightarrow x\in A\setminus(B\cup C).
\end{aligned}
\]
Eftersom detta gäller för varje $x$ följer att $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)$.