Hela algebra · 2008-11-29
(Positivt orienterat ON-system i rummet).
Beräkna matriserna för speglingarna $S_1$ och $S_2$ i planen $x+y=0$, respektive $x-y=0$, och för den rotation $R$ som vrider planet vinkeln $\pi$ radianer kring $z$-axeln.
Motivera, med hjälp av a), att $S_1\circ S_2=R$, och att $S_1\circ S_2\circ S_1\circ S_2=\operatorname{Id}$ där $\operatorname{Id}$ är identitetstransformen.
(a) Speglingarna i planen $x+y=0$ respektive $x-y=0$ har matriser $$S_1=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad S_2=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Rotationen med vinkel $\pi$ kring $z$-axeln har matrisen $R=\operatorname{diag}(-1,-1,1)$. (b) $S_1S_2=R$. Därför är $S_1\circ S_2=R$, och $(S_1S_2)^2=I$, så även $S_1\circ S_2\circ S_1\circ S_2$ är identiteten.