Uppgift 1
Rita följande mängder:
(a)
$\{x\in\mathbb{R}\mid(x-1)(x-2)(x-3)\ge0\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid x=\lvert x\rvert\}$
(b)
$\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Re}(z^2-2(1+i)z+1)=0\}$
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2008-11-29
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) En teckentabell för $(x-1)(x-2)(x-3)$ ger $[1,2]\cup[3,\infty)$. Villkoret $x=|x|$ betyder $x\ge0$, så snittet är fortfarande $[1,2]\cup[3,\infty)$. (b) Med $z=x+iy$ är $$\operatorname{Re}(z^2-2(1+i)z+1)=(x-1)^2-(y-1)^2+1.$$ Mängden är alltså hyperbeln $(y-1)^2-(x-1)^2=1$, med centrum $(1,1)$ och grenar uppåt och nedåt.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Låt $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ vara en given bas i rummet.
(a)
Beräkna volymen av den parallelepiped (“rätblock”) som spänns upp av $\mathbf{f}_1=(a,a,a)$, $\mathbf{f}_2=(2,a+4,2)$ och $\mathbf{f}_3=(0,3,1)$. För vilka $a\in\mathbb{R}$ är $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$ en bas?
(b)
Ger $a=1$ att $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$ är en bas? Bestäm i så fall koordinaterna för vektorn som i $\mathbf{e}$-basen har koordinaterna $\mathbf{v}=(1,0,1)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Volymen är absolutbeloppet av $$\det\begin{pmatrix}a&2&0\\a&a+4&3\\a&2&1\end{pmatrix}=a(a+2).$$ Vektorerna bildar därför en bas precis när $a\ne0,-2$. (b) För $a=1$ ger systemet $T[y]_{\mathbf f}=(1,0,1)^T$ lösningen $$[\mathbf u]_{\mathbf f}=\left(\frac53,-\frac13,0\right)^T.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
(Positivt orienterat ON-system i rummet).
(a)
Beräkna matriserna för speglingarna $S_1$ och $S_2$ i planen $x+y=0$, respektive $x-y=0$, och för den rotation $R$ som vrider planet vinkeln $\pi$ radianer kring $z$-axeln.
(b)
Motivera, med hjälp av a), att $S_1\circ S_2=R$, och att $S_1\circ S_2\circ S_1\circ S_2=\operatorname{Id}$ där $\operatorname{Id}$ är identitetstransformen.
Visa lösningDölj lösning
(a) Speglingarna i planen $x+y=0$ respektive $x-y=0$ har matriser $$S_1=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad S_2=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Rotationen med vinkel $\pi$ kring $z$-axeln har matrisen $R=\operatorname{diag}(-1,-1,1)$. (b) $S_1S_2=R$. Därför är $S_1\circ S_2=R$, och $(S_1S_2)^2=I$, så även $S_1\circ S_2\circ S_1\circ S_2$ är identiteten.
#Uppgift 4
Uppgift 4
(Positivt orienterat ON-system). En partikel har vid tiden $t$ läget $L(t)=(1,t,t^2)$. Bestäm en formel för avståndet till planet $3x+2y+z=1$. För vilket $t$ är den närmast?
Visa lösningDölj lösning
För planet med normalvektor $\mathbf n=(3,2,1)$ och linjen $L(t)=(1,t,t^2)$ är avståndet $$d(t)=\frac{|(1,t,t^2-1)\cdot\mathbf n|}{\lVert\mathbf n\rVert}=\frac{t^2+2t+2}{\sqrt{14}}=\frac{(t+1)^2+1}{\sqrt{14}}.$$ Minsta avståndet är alltså $1/\sqrt{14}$ och fås vid $t=-1$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Man har 10 träbrickor med varsin distinkt bokstav på. Hur många olika följder (eller ord) om 5 symboler kan man bilda? På hur många olika sätt kan man fylla en påse med 5 brickor? Hur många olika meningar med två ord på tillsammans 5 bokstäver kan man bilda? (Orden är förstås skilda av ett mellanslag). (Fakulteteter i svaren behöver inte räknas ut.)
Visa lösningDölj lösning
Antalet ordnade följder av fem olika brickor ur tio är $10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6$. Antalet femelementsmängder är $\binom{10}{5}$. En mening med två ord fås genom att först välja den ordnade följden och sedan en av fyra mellanrumspositioner, alltså finns $$4\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6$$ sådana meningar.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Hitta en lösning till den diofantiska ekvationen
$$ 4x+7y=9. $$
Ge sedan en formel för den allmänna lösningen och bestäm vilka lösningar $(x,y)$ som uppfyller $1000\le y\le1005$.
Visa lösningDölj lösning
Bézouts identitet $1=2\cdot4-7$ ger en lösning till $4x+7y=1$. För $4x+7y=9$ är därför $$x=18+7n,\qquad y=-9-4n,\qquad n\in\mathbb Z.$$ Villkoret $1000\le y\le1005$ ger $n=-253$, och därmed $(x,y)=(-1753,1003)$.