Hela algebra · 2009-01-08
(Positivt orienterat ON-system i rummet).
Beräkna matriserna för de vinkelräta projektionerna $P_1$ och $P_2$ på planen $x+y=0$, respektive $x-y=0$, och för projektion $P\colon(x,y,z)\mapsto(0,0,z)$ på $z$-axeln.
Motivera, med hjälp av a), att $P_1\circ P_2=P_2\circ P_1=P$, och att $P_1\circ P_2\circ P_1\circ P_2=P$.
(a) Projektionerna på planen $x+y=0$ och $x-y=0$ har matriser $$P_1=\begin{pmatrix}1/2&-1/2&0\\-1/2&1/2&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad P_2=\begin{pmatrix}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Projektionen på $z$-axeln har matris $P=\operatorname{diag}(0,0,1)$. (b) Direkta matrisprodukter ger $P_1P_2=P_2P_1=P$. Följaktligen är även $P_1P_2P_1P_2=P$.