Uppgift 1
Rita följande mängder:
(a)
$\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge\frac{-1}{x-2}\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge1\}$
(b)
$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2-2x+2y+1=0\}$
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2009-01-08
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) $$x\ge\frac{-1}{x-2}\iff\frac{(x-1)^2}{x-2}\ge0.$$ Kvadraten är positiv utom vid $x=1$, så lösningsmängden är $\{1\}\cup(2,\infty)$. Snittet med $[1,\infty)$ ändrar inte mängden. (b) Kvadratkomplettering ger $(x-1)^2+(y+1)^2=1$, alltså en cirkel med centrum $(1,-1)$ och radie $1$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
En parallelepiped förändras med tiden $t$. Den spänns upp av de tre vektorerna $\mathbf{f}_1=(1,1,1)$, $\mathbf{f}_2=(1,2t-1,t+2)$, $\mathbf{f}_3=(1,t,2t)$. Vid vilken tid är determinanten av matrisen med $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$ minimal? När har parallelepipeden minimal volym? Sammanfaller dessa?
Visa lösningDölj lösning
Volymen är $$\left|3t^2-6t+3\right|=3(t-1)^2.$$ Den minsta volymen är $0$, och den fås för $t=1$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Låt $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ vara en given bas i rummet och $\mathbf{f}_1=(2a,2a,2a)$, $\mathbf{f}_2=(2,2,a+4)$ och $\mathbf{f}_3=(0,1,3)$.
(a)
För vilka $a\in\mathbb{R}$ är den linjära transformationen $F$ som uppfyller $F(\mathbf{e}_1)=\mathbf{f}_1$, $F(\mathbf{e}_2)=\mathbf{f}_2$, $F(\mathbf{e}_3)=\mathbf{f}_3$ en bijektion?
(b)
Ger $a=-1$ att $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$ är en bas? Bestäm i så fall koordinaterna för vektorn som i $\mathbf{e}$-basen har koordinaterna $\mathbf{v}=(1,0,1)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Koordinatmatrisens determinant är $$\det\begin{pmatrix}2a&2&0\\2a&2&1\\2a&a+4&3\end{pmatrix}=-2a(a+2).$$ Alltså är $F$ bijektiv precis när $a\ne0,-2$. (b) För $a=-1$ ger systemet $T[y]_{\mathbf f}=(1,0,1)^T$ lösningen $$[\mathbf u]_{\mathbf f}=\left(\frac52,3,-1\right)^T.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
(Positivt orienterat ON-system i rummet).
(a)
Beräkna matriserna för de vinkelräta projektionerna $P_1$ och $P_2$ på planen $x+y=0$, respektive $x-y=0$, och för projektion $P\colon(x,y,z)\mapsto(0,0,z)$ på $z$-axeln.
(b)
Motivera, med hjälp av a), att $P_1\circ P_2=P_2\circ P_1=P$, och att $P_1\circ P_2\circ P_1\circ P_2=P$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Projektionerna på planen $x+y=0$ och $x-y=0$ har matriser $$P_1=\begin{pmatrix}1/2&-1/2&0\\-1/2&1/2&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad P_2=\begin{pmatrix}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Projektionen på $z$-axeln har matris $P=\operatorname{diag}(0,0,1)$. (b) Direkta matrisprodukter ger $P_1P_2=P_2P_1=P$. Följaktligen är även $P_1P_2P_1P_2=P$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Man har 9 arbetslösa snickare. Fem av dem ställer sig i en kö. På hur många olika sätt kan denna kö se ut (om bara ordningsföljden mellan personerna antas vara intressant)? Något senare tas ett arbetslag bland de 9 ut. På hur många olika sätt kan mängden av de uttagna se ut (om bara vilka personer som ingår i gruppen antas vara intressant)?
Nästa dag väljs fem bland de 9 ut och får jobba på två projekt. De 5 utvalda delas alltså in i två grupper om minst en person vardera. På hur många sätt kan detta ske? (Fakulteteter i svaren behöver inte räknas ut.)
Visa lösningDölj lösning
En kö med fem av nio snickare kan ordnas på $$9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5=\frac{9!}{4!}$$ sätt. Antalet icke-tomma arbetslag är $2^9-1$. För att välja fem personer och dela dem i två lag med storlekarna $1+4$ eller $2+3$ finns $$\binom95\left(\binom51+\binom52\right)$$ möjligheter.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Hitta en lösning till den diofantiska ekvationen
$$ 5x+7y=6. $$
Ge sedan en formel för den allmänna lösningen och bestäm vilka lösningar $(x,y)$ som uppfyller $1000\le x\le 1006$.
Visa lösningDölj lösning
Bézouts identitet $1=3\cdot5-2\cdot7$ ger lösningar till $5x+7y=1$. För $5x+7y=6$ blir därför $$x=18+7n,\qquad y=-12-5n,\qquad n\in\mathbb Z.$$ Villkoret $1000\le x\le1006$ ger $n=141$, alltså $(x,y)=(1005,-717)$.