Hela algebra · 2009-05-06
Låt $V$ vara mängden av vektorer i rummet och låt $F$ vara den linjära avbildning på $V$ som projicerar en vektor ortogonalt på planet $2x+y+2z=0$. Bestäm matrisen för $F$. ON-system.
Bestäm en ON-bas för $V$ sådan att matrisen för $F$ i denna bas är en diagonalmatris (dvs elementen utanför huvuddiagonalen är noll). Bestäm också motsvarande diagonalmatris. ON-system.
(a) Ortogonalprojektionen på planet $2x+y+2z=0$ är $$F(a,b,c)=\frac19(5a-2b-4c,-2a+8b-2c,-4a-2b+5c),$$ med matris $$\frac19\begin{pmatrix}5&-2&-4\\-2&8&-2\\-4&-2&5\end{pmatrix}.$$ (b) Välj ON-basen $$\mathbf e_1=\frac13(2,1,2),\quad\mathbf e_2=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1),\quad\mathbf e_3=\frac1{3\sqrt2}(-1,4,-1).$$ Då har projektionen diagonalmatrisen $\operatorname{diag}(0,1,1)$.