Uppgift 1
Rita följande mängder i det komplexa talplanet
(a)
$\{z\mid\lvert z-1\rvert\le1\}\cap\{z\mid\operatorname{Re}(z)\ge1\}$
(b)
$\{z\mid(\operatorname{Re}(z))^2\ge1\}\cup\{z\mid(\operatorname{Im}(z))^2\le1\}$
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2009-05-06
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) $|z-1|\le1$ är den slutna cirkelskivan med centrum $1$ och radie $1$. Villkoret $\operatorname{Re}z\ge1$ är högra halvplanet. Snittet är därför den högra halvan av cirkelskivan. (b) $(\operatorname{Re}z)^2\ge1$ är unionen av halvplanen $\operatorname{Re}z\ge1$ och $\operatorname{Re}z\le-1$, medan $(\operatorname{Im}z)^2\le1$ är remsan $-1\le\operatorname{Im}z\le1$. Unionen är det H-formade område som dessa delar bildar.
#Uppgift 2
Uppgift 2
(a)
Bestäm alla värden på $a$ så att de tre vektorerna $(1,a,2)$, $(a,-2,-1)$ och $(3,0,1)$ är en bas för vektorerna i rummet.
(b)
Bestäm koordinaterna för vektorn $(1,1,0)$ i denna bas om $a=1$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Vektorerna bildar en bas när $$\det\begin{pmatrix}1&a&3\\a&-2&0\\2&-1&1\end{pmatrix}=10-3a-a^2\ne0.$$ Alltså krävs $a\ne2,-5$. (b) För $a=1$ ger Gausselimination av koordinatsystemet $$[\mathbf u]_{\mathbf f}=(-1,-1,1)^T.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
(a)
På hur många sätt kan sex personer stå i kö?
(b)
På hur många sätt kan sex personer stå i kö, så att Kalle inte står sist i kön?
(c)
På hur många sätt kan sex personer stå i kö, så att Anna inte står först i kön och Sara inte står sist? Svaren ska ges i uträknad form.
Visa lösningDölj lösning
(a) Sex personer kan ordnas i en kö på $6!=720$ sätt. (b) Om Kalle ska ligga bland de fem första finns fem möjliga positioner och övriga fem personer kan ordnas på $5!$ sätt: $5\cdot5!=600$. (c) Med komplementräkning finns $5!$ köer med Anna först och $5!$ med Sara sist; överlappet har $4!$ köer. Det sökta antalet är därför $$6!-(5!+5!-4!)=504.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm ekvationen för den linje som innehåller punkten $(1,0,1)$ och som är parallell med de båda planen $-x+y+2z+1=0$ och $3x-y-z+2=0$. ON-system.
Visa lösningDölj lösning
Skärningslinjen mellan planen uppfyller $$-x+y+2z+1=0,\qquad3x-y-z+2=0.$$ Med $x=t$ fås $y=5+5t$ och $z=-3-2t$. Den parallella linjen genom $(1,0,1)$ är alltså $$(x,y,z)=(1,0,1)+t(1,5,-2).$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten $(1,1,-1)$ och som är vinkelrätt mot linjen $(x,y,z)=(1,0,1)+t(2,-1,-2)$. Bestäm också skärningspunkten mellan linjen och planet och det vinkelräta avståndet mellan punkten $(1,1,-1)$ och linjen. ON-system.
Visa lösningDölj lösning
Den givna linjens riktningsvektor $(2,-1,-2)$ är normal till planet. Planet genom $P=(1,1,-1)$ har därför ekvationen $2x-y-2z-3=0$. Linjen skär planet för $t=1/3$, i punkten $$Q=\left(\frac53,-\frac13,\frac13\right).$$ Avståndet från $P$ till linjen är $\lVert P-Q\rVert=2$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Låt $V$ vara mängden av vektorer i rummet och låt $F$ vara den linjära avbildning på $V$ som projicerar en vektor ortogonalt på planet $2x+y+2z=0$. Bestäm matrisen för $F$. ON-system.
(b)
Bestäm en ON-bas för $V$ sådan att matrisen för $F$ i denna bas är en diagonalmatris (dvs elementen utanför huvuddiagonalen är noll). Bestäm också motsvarande diagonalmatris. ON-system.
Visa lösningDölj lösning
(a) Ortogonalprojektionen på planet $2x+y+2z=0$ är $$F(a,b,c)=\frac19(5a-2b-4c,-2a+8b-2c,-4a-2b+5c),$$ med matris $$\frac19\begin{pmatrix}5&-2&-4\\-2&8&-2\\-4&-2&5\end{pmatrix}.$$ (b) Välj ON-basen $$\mathbf e_1=\frac13(2,1,2),\quad\mathbf e_2=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1),\quad\mathbf e_3=\frac1{3\sqrt2}(-1,4,-1).$$ Då har projektionen diagonalmatrisen $\operatorname{diag}(0,1,1)$.