Hela algebra · 2009-06-02

Uppgift 3

Hela tentan

Uppgift 3

En talföljd $a_0$, $a_1$, $a_2,\dots$ definieras för alla heltal $n\ge0$ genom $a_0=\frac{1}{2}$ och

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}, $$

för $n=0,1,2,\dots$. Gissa en formel för $a_n$ och visa sedan formeln med induktion.

Detta är en bevisuppgift. Var tydlig med vilka antaganden du gör och motivera noggrant alla steg i beviset.

Visa lösningDölj lösning

De första termerna är $a_0=1/2$, $a_1=2/3$, $a_2=3/4$, så vi gissar $$a_n=\frac{n+1}{n+2}.$$ Basfallet $n=0$ stämmer. Antag att $a_p=(p+1)/(p+2)$. Då $$a_{p+1}=\frac1{2-a_p}=\frac1{2-(p+1)/(p+2)}=\frac{p+2}{p+3}.$$ Induktion bevisar formeln för alla $n\ge0$.