Uppgift 1
Rita följande mängder i komplexa talplanet
(a)
$\{z\mid\lvert z-1\rvert=1\}$
(b)
$\{z\mid\lvert z\rvert=\lvert z-2\rvert\}$
(c)
$\{z\mid\operatorname{Re}(z^2)=0\}$
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2009-06-02
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) $|z-1|=1$ är cirkeln med centrum $1$ och radie $1$. (b) Likheten $|z|=|z-2|$ ger, med $z=x+iy$, $x^2+y^2=(x-2)^2+y^2$, alltså $x=1$. Detta är mittpunktsnormalen till segmentet från $0$ till $2$. (c) För $z=x+iy$ är $\operatorname{Re}(z^2)=x^2-y^2$. Villkoret $\operatorname{Re}(z^2)=0$ ger linjerna $y=x$ och $y=-x$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Låt $ABCDEF$ vara en regelbunden sexhörning. Uttryck vektorerna $\overrightarrow{EC}$ och $\overrightarrow{BD}$ som linjärkombinationer av vektorerna $\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{AF}$.
Visa lösningDölj lösning
Av figuren fås $EC=FB=AB-AF$. Om $O$ är sexhörningens centrum, så är $$BD=BO+OD=AF+AO=AF+AF+FO=AB+2AF.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
En talföljd $a_0$, $a_1$, $a_2,\dots$ definieras för alla heltal $n\ge0$ genom $a_0=\frac{1}{2}$ och
$$ a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}, $$
för $n=0,1,2,\dots$. Gissa en formel för $a_n$ och visa sedan formeln med induktion.
Detta är en bevisuppgift. Var tydlig med vilka antaganden du gör och motivera noggrant alla steg i beviset.
Visa lösningDölj lösning
De första termerna är $a_0=1/2$, $a_1=2/3$, $a_2=3/4$, så vi gissar $$a_n=\frac{n+1}{n+2}.$$ Basfallet $n=0$ stämmer. Antag att $a_p=(p+1)/(p+2)$. Då $$a_{p+1}=\frac1{2-a_p}=\frac1{2-(p+1)/(p+2)}=\frac{p+2}{p+3}.$$ Induktion bevisar formeln för alla $n\ge0$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten $(1,0,1)$ och linjen $(x,y,z)=(0,2,0)+t(1,1,-1)$. Svaret ska ges på formen $ax+by+cz+d=0$.
Visa lösningDölj lösning
Planet är parallellt med $(1,1,-1)$ och med $\overrightarrow{PQ}=(1,-2,1)$. En parameterform genom $Q=(1,0,1)$ är $$x=1+s+t,\qquad y=s-2t,\qquad z=1-s+t.$$ Eliminering av $s,t$ ger planets ekvation $$x+2y+3z-4=0.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm en punkt $P$ på linjen $(x,y,z)=(1,-1,2)+t(1,1,0)$ och en punkt $Q$ på linjen $(x,y,z)=(0,2,1)+s(1,-1,-4)$ sådana att vektorn $\overrightarrow{PQ}$ är vinkelrät mot de båda linjerna. Bestäm också ekvationen för linjen genom $P$ och $Q$ och rätvinkliga avståndet mellan linjerna. (ON-system)
Visa lösningDölj lösning
Punkter på linjerna är $P=(1,-1,2)+t(1,1,0)$ och $Q=(0,2,1)+s(1,-1,-4)$. Kravet att $Q-P$ är ortogonal mot båda riktningsvektorerna ger $t=1$, $s=0$. Alltså är $P=(2,0,2)$, $Q=(0,2,1)$ och den gemensamma normalen $$ (x,y,z)=(2,0,2)+r(-2,2,-1).$$ Avståndet mellan linjerna är $\lVert Q-P\rVert=3$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
(a)
Låt $V$ vara mängden av vektorer i planet, låt $F$ vara den linjära avbildning på $V$ som speglar en vektor i linjen $x-2y=0$ och låt $G$ vara den linjära avbildning på $V$ som roterar en vektor vinkeln $\pi/2$ (i positiv riktning, moturs). Bestäm matrisen för sammansättningen $G\circ F$. (ON-system)
(b)
Sammansättningen $G\circ F$ är också en spegling. Bestäm konstanten $k$ så att $G(F(\mathbf{u}))$ är spegelbilden av $\mathbf{u}$ i linjen $y=kx$, för alla $\mathbf{u}\in V$. (ON-system)
Visa lösningDölj lösning
(a) Speglingen i linjen $x=2y$ har matris $$A=\frac15\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix},$$ och rotationen $G$ med $G(1,0)=(0,1)$, $G(0,1)=(-1,0)$ har matris $$B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$ Alltså är $$[G\circ F]=BA=\frac15\begin{pmatrix}-4&3\\3&4\end{pmatrix}.$$ (b) Skillnaderna mellan basvektorer och deras bilder är parallella med $(-3,1)$, som är normal till riktningen $(1,3)$. Den sammansatta avbildningen är därför spegling i linjen $y=3x$.