Hela algebra · 2009-06-02

Uppgift 6

Uppgift 6

(a)

Låt $V$ vara mängden av vektorer i planet, låt $F$ vara den linjära avbildning på $V$ som speglar en vektor i linjen $x-2y=0$ och låt $G$ vara den linjära avbildning på $V$ som roterar en vektor vinkeln $\pi/2$ (i positiv riktning, moturs). Bestäm matrisen för sammansättningen $G\circ F$. (ON-system)

(b)

Sammansättningen $G\circ F$ är också en spegling. Bestäm konstanten $k$ så att $G(F(\mathbf{u}))$ är spegelbilden av $\mathbf{u}$ i linjen $y=kx$, för alla $\mathbf{u}\in V$. (ON-system)

Visa lösningDölj lösning

(a) Speglingen i linjen $x=2y$ har matris $$A=\frac15\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix},$$ och rotationen $G$ med $G(1,0)=(0,1)$, $G(0,1)=(-1,0)$ har matris $$B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$ Alltså är $$[G\circ F]=BA=\frac15\begin{pmatrix}-4&3\\3&4\end{pmatrix}.$$ (b) Skillnaderna mellan basvektorer och deras bilder är parallella med $(-3,1)$, som är normal till riktningen $(1,3)$. Den sammansatta avbildningen är därför spegling i linjen $y=3x$.