Hela algebra · 2009-08-17
Låt $V$ vara mängden av vektorer i rummet och låt $S$ vara den linjära avbildning på $V$ som speglar en vektor i linjen $(x,y,z)=t(1,2,2)$.
($S$ kan också definieras som den linjära avbildning på $V$ som roterar en vektor $180^\circ$ kring linjen $(x,y,z)=t(1,2,2)$.)
Bestäm matrisen för $S$. (ON-system)
Speglingen kring axeln med riktningsvektor $(1,2,2)$ är $$S(\mathbf u)=2\operatorname{proj}_{(1,2,2)}\mathbf u-\mathbf u.$$ I standardbasen är därför $$[S]=\frac19\begin{pmatrix}-7&4&4\\4&-1&8\\4&8&-1\end{pmatrix}.$$ I en ON-bas vars första vektor är parallell med $(1,2,2)$ är matrisen $\operatorname{diag}(1,-1,-1)$.