Uppgift 1
Rita följande mängder i komplexa talplanet
(a)
$\{z\mid\lvert z+1\rvert\le 1\}\cap\{z\mid\operatorname{Im}z\ge 0\}$
(b)
$\{z\mid\operatorname{Re}z\ge\operatorname{Im}z\}\cup\{z\mid\operatorname{Re}z\ge-\operatorname{Im}z\}$
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2009-08-17
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) $|z+1|\le1$ är den slutna cirkelskivan med centrum $-1$ och radie $1$. Snittet med $\operatorname{Im}z\ge0$ är dess övre halva, inklusive diametern. (b) Villkoren $\operatorname{Re}z\ge\operatorname{Im}z$ och $\operatorname{Re}z\ge-\operatorname{Im}z$ beskriver två halvplan; den efterfrågade mängden är deras union.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Låt $p(x)$ vara polynomet som definieras genom $p(x)=(x-1)(x^{100}+x^{50}+1)+x^{10}+1$.
(a)
Bestäm resten då $p(x)$ divideras med $x-1$.
(b)
Bestäm resten då $p(x)$ divideras med $x^2-1$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Vid division med $x-1$ är resten $p(1)=2$. (b) Resten vid division med $x^2-1$ har formen $ax+b$. Villkoren $p(1)=a+b=2$ och $p(-1)=-a+b=-4$ ger $a=3$, $b=-1$. Resten är alltså $3x-1$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
(a)
Visa att vektorerna $\mathbf{u}=(2,1,-3)$, $\mathbf{v}=(6,-3,5)$ och $\mathbf{w}=(0,3,-7)$ är linjärt beroende.
(b)
Skriv en av vektorerna $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ som en linjärkombination av de båda övriga vektorerna.
Visa lösningDölj lösning
(a) $$\det\begin{pmatrix}2&6&0\\1&-3&3\\-3&5&-7\end{pmatrix}=0,$$ så vektorerna är linjärt beroende. (b) Gausselimination av $\alpha\mathbf u+\beta\mathbf v=\mathbf w$ ger $\alpha=3/2$, $\beta=-1/2$. Alltså $$\mathbf w=\frac32\mathbf u-\frac12\mathbf v.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm ekvationen för det plan som innehåller de båda linjerna $(x,y,z)=(1,2,0)+t(2,1,-3)$ och $(x,y,z)=(3,1,-1)+t(-4,-2,6)$. Svaret ska ges på formen $ax+by+cz+d=0$.
Visa lösningDölj lösning
De parallella linjerna har riktningsvektor $(2,1,-3)$. Tillsammans med vektorn mellan punkterna $(2,-1,-1)$ spänner den upp planet. Planet genom $(1,2,0)$ får ekvationen $$x+y+z-3=0.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
(a)
Låt $\ell$ vara den räta linjen $(x,y,z)=(1,1,-1)+t(1,0,1)$. Skriv vektorn $\mathbf{u}=(1,3,3)$ som en summa $\mathbf{u}=\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2$, där $\mathbf{u}_1$ är parallell med $\ell$ och $\mathbf{u}_2$ är vinkelrät mot $\ell$.
(b)
Låt $\Pi$ vara planet $x-2y+z+1=0$. Skriv vektorn $\mathbf{u}=(1,3,3)$ som en summa $\mathbf{u}=\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2$, där $\mathbf{u}_1$ är parallell med $\Pi$ och $\mathbf{u}_2$ är vinkelrät mot $\Pi$.
(ON-system)
Visa lösningDölj lösning
(a) Projektionen av $\mathbf u=(1,3,3)$ på riktningsvektorn $(1,0,1)$ är $(2,0,2)$. Alltså $$\mathbf u=(2,0,2)+(-1,3,1).$$ (b) Projektionen på normalen $(1,-2,1)$ är $(-1/3,2/3,-1/3)$. Delen parallell med planet är $(4/3,7/3,10/3)$, så $$\mathbf u=\left(\frac43,\frac73,\frac{10}3\right)+\left(-\frac13,\frac23,-\frac13\right).$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Låt $V$ vara mängden av vektorer i rummet och låt $S$ vara den linjära avbildning på $V$ som speglar en vektor i linjen $(x,y,z)=t(1,2,2)$.
($S$ kan också definieras som den linjära avbildning på $V$ som roterar en vektor $180^\circ$ kring linjen $(x,y,z)=t(1,2,2)$.)
Bestäm matrisen för $S$. (ON-system)
Visa lösningDölj lösning
Speglingen kring axeln med riktningsvektor $(1,2,2)$ är $$S(\mathbf u)=2\operatorname{proj}_{(1,2,2)}\mathbf u-\mathbf u.$$ I standardbasen är därför $$[S]=\frac19\begin{pmatrix}-7&4&4\\4&-1&8\\4&8&-1\end{pmatrix}.$$ I en ON-bas vars första vektor är parallell med $(1,2,2)$ är matrisen $\operatorname{diag}(1,-1,-1)$.