Hela algebra · 2010-05-31

Uppgift 4

Uppgift 4

(Positivt orienterat ON-system i rummet.) Beräkna matrisen till den ortogonala projektionen $P$ på planet som går igenom punkterna $(2,0,-2)$, $(2,1,-3)$ och $(1,2,-3)$. Låt $D$ vara kvadraten som spänns upp av vektorerna $(1,0,0)$ och $(0,1,0)$. Under projektionen avbildas kvadraten på ett parallellogram. Vad är dettas area?

Visa lösningDölj lösning

Punkterna $A=(2,0,-2)$, $B=(2,1,-3)$ och $C=(1,2,-3)$ ger normalen $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,1)$. Projektionen på planet $x+y+z=0$ har matris $$P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}.$$ Parallellogrammen som spänns upp av de två första kolonnerna har area $1/\sqrt3$.