MM2001 · Hela algebra

Tenta 2010-05-31

Rikard Bøgvad6 uppgifter

#Uppgift 1

Uppgift 1

Rita i komplexa talplanet följande mängder:

(a)

$\{z\in\mathbb{C}\mid\lvert z-i\rvert\ge1\}\cup\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Arg}z=-\pi/4\}$

(b)

$\{z\in\mathbb{C}\mid z+\overline{z}=2\}\cap\{z\in\mathbb{C}\mid z-\overline{z}=2i\}$

Visa lösningDölj lösning

(a) Mängden är komplementet till den öppna cirkelskivan med centrum $i$ och radie $1$, tillsammans med strålen från origo med argument $-\pi/4$. (b) Mängden består av det enda komplexa talet $1+i$.

#Uppgift 2

Uppgift 2

Låt $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ vara en given bas i rummet och $\mathbf{f}_1=2\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3$, $\mathbf{f}_2=2\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3$ och $\mathbf{f}_3=2\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+a\mathbf{e}_3$, där $a\in\mathbb{R}$.

(a)

För vilka $a\in\mathbb{R}$ är den linjära avbildningen $F$ som uppfyller $F(\mathbf{e}_1)=\mathbf{f}_1$, $F(\mathbf{e}_2)=\mathbf{f}_2$, $F(\mathbf{e}_3)=\mathbf{f}_3$ en injektion?

(b)

För $a=1$, bestäm matrisen till $F^{-1}$, där $F^{-1}$ är den linjära transformationen som är inversfunktion till $F$.

Visa lösningDölj lösning

(a) Avbildningens matris är $$\begin{pmatrix}2&2&2\\0&1&1\\-1&-1&a\end{pmatrix},$$ vars determinant är $2+2a$. Avbildningen är bijektiv precis när $a\ne-1$. (b) För $a=1$ är inversen $$\begin{pmatrix}1/2&-1&0\\-1/4&1&-1/2\\1/4&0&1/2\end{pmatrix}.$$

#Uppgift 3

Uppgift 3

(Positivt orienterat ON-system i rummet.) Låt $L_1$ vara skärningen av planet $y=0$ och planet $z=0$, och $L_2$ linjen genom $(1,2,3)$ med riktningsvektorn $(1,-1,1)$. Bestäm på normalform ekvationen för det plan som innehåller punkten $(1,1,1)$ och som är parallellt med de båda linjerna $L_1$ och $L_2$.

Visa lösningDölj lösning

$L_1$ är $x$-axeln och har riktningsvektor $(1,0,0)$. Linjen $L_2$ har riktning $(1,-1,1)$, så en normal till ett plan parallellt med båda är $(1,0,0)\times(1,-1,1)=(0,1,1)$. Planet genom $(1,1,1)$ är därför $$y+z-2=0.$$

#Uppgift 4

Uppgift 4

(Positivt orienterat ON-system i rummet.) Beräkna matrisen till den ortogonala projektionen $P$ på planet som går igenom punkterna $(2,0,-2)$, $(2,1,-3)$ och $(1,2,-3)$. Låt $D$ vara kvadraten som spänns upp av vektorerna $(1,0,0)$ och $(0,1,0)$. Under projektionen avbildas kvadraten på ett parallellogram. Vad är dettas area?

Visa lösningDölj lösning

Punkterna $A=(2,0,-2)$, $B=(2,1,-3)$ och $C=(1,2,-3)$ ger normalen $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,1)$. Projektionen på planet $x+y+z=0$ har matris $$P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}.$$ Parallellogrammen som spänns upp av de två första kolonnerna har area $1/\sqrt3$.

#Uppgift 5

Uppgift 5

I en säck ligger 7 olika böcker.

(a)

De placeras på en bokhylla. På hur många sätt kan detta ske (om bara ordningsföljden mellan böckerna räknas)?

(b)

Samtliga sju delas upp i två högar, med åtminstone en bok i varje hög. På hur många sätt kan detta ske? (bara vilka böcker som är i respektive hög räknas, och högarna har ingen speciell ordning.)

Visa lösningDölj lösning

(a) Sju böcker kan ordnas på $7!=5040$ sätt. (b) Dela efter storleken på den minsta högen. Den kan ha $1$, $2$ eller $3$ böcker, så antalet uppdelningar i två icke-tomma, oordnade högar är $$\binom71+\binom72+\binom73=63.$$

#Uppgift 6

Uppgift 6

Lös den diofantiska ekvationen

$$ 5x+11y=3. $$

Lös sedan ekvationen

$$ 5x\equiv3\pmod{11},\qquad x\in\mathbb{Z}. $$

Visa lösningDölj lösning

Euklides algoritm ger $1=11-2\cdot5$. För $5x+11y=3$ blir därför $$x=-6+11n,\qquad y=3-5n,\qquad n\in\mathbb Z.$$ Följaktligen är lösningarna till kongruensen $5x\equiv3\pmod{11}$ precis $x\equiv-6\pmod{11}$.