Låt $\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$ vara en given positivt orienterad ON-bas i rummet och sätt $\mathbf{f}_1=2\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3$, $\mathbf{f}_2=2\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3$ och $\mathbf{f}_3=2\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+a\mathbf{e}_3$, där $a\in\mathbb{R}$.
Beräkna volymen uttryckt i $a$ av den parallelepiped som spänns upp av $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$.
För $a\in\mathbb{R}$ låt $F$ vara den linjära avbildningen av rummet som uppfyller $F(\mathbf{e}_1)=\mathbf{f}_1$, $F(\mathbf{e}_2)=\mathbf{f}_2$, $F(\mathbf{e}_3)=\mathbf{f}_3$. För vilka $a\in\mathbb{R}$ är $F$ surjektiv?
Låt $G_1$ vara den linjära avbildning av rummet vars matris i basen $\mathbf{e}$ är
$$ A=\begin{pmatrix}2&2&0\\0&-1&2\\0&0&2\end{pmatrix}, $$
och låt $G_2$ vara den linjära avbildning av rummet som är inversfunktion för $a=1$ till $F$ från föregående deluppgift. Bestäm matrisen i basen $\mathbf{e}$ för den linjära avbildningen $H=G_1\circ G_2$. Har $H$ en inversfunktion?