Uppgift 1
Rita i komplexa talplanet följande mängder:
(a)
$\{z\in\mathbb{C}\mid\lvert z-2i\rvert\ge1\}\cap\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Arg}z=\pi/2\}$
(b)
$\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Re}z\ge0\}\cap\{z\in\mathbb{C}\mid z^8=1\}$
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2010-11-27
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) På den positiva imaginära axeln skriver vi $z=iy$, $y>0$. Villkoret $|z-2i|\ge1$ blir $|y-2|\ge1$, så mängden är $$\{iy:0<y\le1\}\cup\{iy:y\ge3\}.$$ (b) De efterfrågade åttonde enhetsrötterna är $$\left\{e^{ik\pi/4}:k=0,1,2,6,7\right\}=\left\{1,\pm i,\frac{1+i}{\sqrt2},\frac{1-i}{\sqrt2}\right\}. $$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Låt $\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$ vara en given positivt orienterad ON-bas i rummet och sätt $\mathbf{f}_1=2\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3$, $\mathbf{f}_2=2\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3$ och $\mathbf{f}_3=2\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+a\mathbf{e}_3$, där $a\in\mathbb{R}$.
(a)
Beräkna volymen uttryckt i $a$ av den parallelepiped som spänns upp av $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$.
(b)
För $a\in\mathbb{R}$ låt $F$ vara den linjära avbildningen av rummet som uppfyller $F(\mathbf{e}_1)=\mathbf{f}_1$, $F(\mathbf{e}_2)=\mathbf{f}_2$, $F(\mathbf{e}_3)=\mathbf{f}_3$. För vilka $a\in\mathbb{R}$ är $F$ surjektiv?
(c)
Låt $G_1$ vara den linjära avbildning av rummet vars matris i basen $\mathbf{e}$ är
$$ A=\begin{pmatrix}2&2&0\\0&-1&2\\0&0&2\end{pmatrix}, $$
och låt $G_2$ vara den linjära avbildning av rummet som är inversfunktion för $a=1$ till $F$ från föregående deluppgift. Bestäm matrisen i basen $\mathbf{e}$ för den linjära avbildningen $H=G_1\circ G_2$. Har $H$ en inversfunktion?
Visa lösningDölj lösning
(a) Parallellpipedens volym är $$|\det F|=|2+2a|.$$ (b) $F$ är inverterbar precis när $2+2a\ne0$, alltså när $a\ne-1$. (c) För $a=1$ är $$[G_2]=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-3/4&1&-1/2\\1/4&0&1/2\end{pmatrix}.$$ Den sammansatta avbildningen har matris $$[H]=\begin{pmatrix}1/2&0&-1\\5/4&-1&3/2\\1/2&0&1\end{pmatrix}.$$ Eftersom faktorerna är inverterbara, är också $H$ inverterbar.
#Uppgift 3
Uppgift 3
(Positivt orienterat ON-system i rummet.) Låt $\Pi_1$ vara planet $x+2z=1$, och $\Pi_2$ planet $y+z=3$, och $L$ planens skärningslinje. Kalla punkten där denna linje skär planet $x+y+z=0$ för $P$. Räkna ut $P$ och bestäm avståndet $\lvert QP\rvert$ för $Q=(-1,-1,1)$.
Visa lösningDölj lösning
Skärningslinjen har parameterformen $$L:(x,y,z)=(1,3,0)+t(-2,-1,1).$$ Villkoret $x+y+z=0$ ger $4-2t=0$, alltså $t=2$ och $P=(-3,1,2)$. Det angivna avståndet blir $$|QP|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Låt $OA_1A_2A_3$ vara en tetraeder i rummet ($O$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ är hörnen). Mittpunkterna på sidorna $OA_1$, $OA_2$, $OA_3$ betecknas $M_1$, $M_2$, $M_3$, respektive. Mittpunkten på sidan $A_1A_2$ är $M$.
(a)
Uttryck vektorerna $\overrightarrow{MM_1}$, $\overrightarrow{MM_2}$, $\overrightarrow{MM_3}$ som linjärkombinationer av vektorerna $\overrightarrow{OA_1}$, $\overrightarrow{OA_2}$, $\overrightarrow{OA_3}$.
(b)
Uttryck vektorn $\overrightarrow{OA_1}+10\overrightarrow{OA_2}+100\overrightarrow{OA_3}$ som en linjärkombination av $\overrightarrow{MM_1}$, $\overrightarrow{MM_2}$, $\overrightarrow{MM_3}$.
Visa lösningDölj lösning
(a) I basen $(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\overrightarrow{OA_3})$ är $$\overrightarrow{MM_1}=(0,-1/2,0),\quad\overrightarrow{MM_2}=(-1/2,0,0),\quad\overrightarrow{MM_3}=(-1/2,-1/2,1/2).$$ (b) Sätt $$\overrightarrow{OA_1}+10\overrightarrow{OA_2}+100\overrightarrow{OA_3}=x\overrightarrow{MM_1}+y\overrightarrow{MM_2}+z\overrightarrow{MM_3}.$$ Koordinatjämförelse ger $z=200$, $y=-202$ och $x=-220$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
En grupp av 30 människor ska välja ut en arbetsgrupp på 4 personer.
(a)
På hur många sätt kan detta ske? (Enbart vilka människor som ingår i arbetsgruppen är intressant.)
(b)
Gruppen består av 16 matematiker och 14 icke-matematiker. På hur många sätt kan arbetsgruppen väljas om minst 2 matematiker ska ingå?
(c)
Matematikern A och icke-matematikern B kan inte ens säga hej till varandra utan att det resulterar i världens mest ineffektiva (fast rätt roande) gräl. På hur många sätt kan en arbetsgrupp (med fyra personer varav minst två matematiker) väljas om man lägger till kravet att både A och B inte ingår i den? (Att endast en av dem ingår är OK.)
Visa lösningDölj lösning
(a) Antalet grupper med fyra personer ur trettio är $\binom{30}{4}$. (b) En grupp med minst två av de sexton matematikerna kan ha två, tre eller fyra matematiker. Antalet är $$\binom{16}{2}\binom{14}{2}+\binom{16}{3}\binom{14}{1}+\binom{16}{4}=20580.$$ (c) Av dessa innehåller $\binom{15}{1}\binom{13}{1}+\binom{15}{2}=300$ både $A$ och $B$. Svaret är därför $20580-300=20280$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Låt $p(x)=x^{100}+3x+1$.
(a)
Bestäm resten av $p(x)$ vid division med $x+1$.
(b)
Bestäm resten av $p(x)$ vid division med $x(x-1)(x+1)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Faktorsatsen ger resten vid division med $x+1$ som $p(-1)=-1$. (b) Resten vid division med $x(x-1)(x+1)$ har formen $r(x)=Ax^2+Bx+C$. Av $$r(1)=5,\qquad r(0)=1,\qquad r(-1)=-1$$ fås $A=1$, $B=3$, $C=1$. Resten är alltså $$r(x)=x^2+3x+1.$$