MM2001 · Tidigare tentor

Hela algebra · 2010-11-27

Uppgift 4

Hela tentan
Rikard Bøgvad Analytisk geometriVektorrum och baser
Uppgift 4

Låt $OA_1A_2A_3$ vara en tetraeder i rummet ($O$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ är hörnen). Mittpunkterna på sidorna $OA_1$, $OA_2$, $OA_3$ betecknas $M_1$, $M_2$, $M_3$, respektive. Mittpunkten på sidan $A_1A_2$ är $M$.

(a)

Uttryck vektorerna $\overrightarrow{MM_1}$, $\overrightarrow{MM_2}$, $\overrightarrow{MM_3}$ som linjärkombinationer av vektorerna $\overrightarrow{OA_1}$, $\overrightarrow{OA_2}$, $\overrightarrow{OA_3}$.

(b)

Uttryck vektorn $\overrightarrow{OA_1}+10\overrightarrow{OA_2}+100\overrightarrow{OA_3}$ som en linjärkombination av $\overrightarrow{MM_1}$, $\overrightarrow{MM_2}$, $\overrightarrow{MM_3}$.

Visa lösningDölj lösning

(a) I basen $(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\overrightarrow{OA_3})$ är $$\overrightarrow{MM_1}=(0,-1/2,0),\quad\overrightarrow{MM_2}=(-1/2,0,0),\quad\overrightarrow{MM_3}=(-1/2,-1/2,1/2).$$ (b) Sätt $$\overrightarrow{OA_1}+10\overrightarrow{OA_2}+100\overrightarrow{OA_3}=x\overrightarrow{MM_1}+y\overrightarrow{MM_2}+z\overrightarrow{MM_3}.$$ Koordinatjämförelse ger $z=200$, $y=-202$ och $x=-220$.

Figur