Låt $\mathbf{e} = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$ vara en given positivt orienterad ON-bas i rummet. Låt $G$ vara den linjära avbildning av rummet vars matris i basen $\mathbf{e}$ (för $a\in\mathbb{R}$) är
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}.$$
För vilka $a\in\mathbb{R}$ har $G$ en invers funktion?
Beräkna volymen uttryckt i $a$ av den parallellepiped som spänns upp av $G(\mathbf{e}_1)$, $G(\mathbf{e}_2)$, $G(\mathbf{e}_3)$.
Sätt $\mathbf{f}_1 = 2\mathbf{e}_1$, $\mathbf{f}_2 = 2\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2$ och $\mathbf{f}_3 = 2\mathbf{e}_2 + 2\mathbf{e}_3$. Låt $F_1$ vara den linjära avbildning av rummet som är given av att $F_1(\mathbf{e}_1) = \mathbf{f}_1$, $F_1(\mathbf{e}_2) = \mathbf{f}_2$, $F_1(\mathbf{e}_3) = \mathbf{f}_3$, och och låt $F_2$ vara den linjära avbildning av rummet som är inversfunktion för $a = 1$ till $G$ från föregående deluppgift. Bestäm matrisen i basen $\mathbf{e}$ för den linjära avbildningen $H = F_1\circ F_2$. Har $H$ en inversfunktion?