MM2001 · Hela algebra
Rita i komplexa talplanet följande mängder:
$\{z = re^{i\theta}\in\mathbb{C}\mid \pi/3\le\theta\le\pi/2,\ 1\le r\le 2\}$
$\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Re} z\ge 0\}\cup\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im} z\le 0\}$
$\{x + iy\in\mathbb{C}\mid x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0\}\cap\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Re} z\ge 0\}$
(a) Mängden är sektorn mellan de koncentriska cirklarna med radierna $1$ och $2$, där vinkeln uppfyller $\pi/3\le\theta\le\pi/2$.
(b) Villkoret är uppfyllt i alla kvadranter utom den tredje, där både real- och imaginärdelen är negativa.
(c) Efter kvadratkomplettering får vi
$$(x-1)^2+y^2=2.$$
Mängden är den del av cirkeln med centrum $(1,0)$ och radie $\sqrt2$ där $x\ge0$.
Låt $\mathbf{e} = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$ vara en given positivt orienterad ON-bas i rummet. Låt $G$ vara den linjära avbildning av rummet vars matris i basen $\mathbf{e}$ (för $a\in\mathbb{R}$) är
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}.$$
För vilka $a\in\mathbb{R}$ har $G$ en invers funktion?
Beräkna volymen uttryckt i $a$ av den parallellepiped som spänns upp av $G(\mathbf{e}_1)$, $G(\mathbf{e}_2)$, $G(\mathbf{e}_3)$.
Sätt $\mathbf{f}_1 = 2\mathbf{e}_1$, $\mathbf{f}_2 = 2\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2$ och $\mathbf{f}_3 = 2\mathbf{e}_2 + 2\mathbf{e}_3$. Låt $F_1$ vara den linjära avbildning av rummet som är given av att $F_1(\mathbf{e}_1) = \mathbf{f}_1$, $F_1(\mathbf{e}_2) = \mathbf{f}_2$, $F_1(\mathbf{e}_3) = \mathbf{f}_3$, och och låt $F_2$ vara den linjära avbildning av rummet som är inversfunktion för $a = 1$ till $G$ från föregående deluppgift. Bestäm matrisen i basen $\mathbf{e}$ för den linjära avbildningen $H = F_1\circ F_2$. Har $H$ en inversfunktion?
(a) $\det A=2+2a=2(a+1)$, så $G$ är inverterbar precis när $a\ne-1$.
(b) Volymen är $V=\lvert\det A\rvert=2\lvert a+1\rvert$.
(c) Matrisen för $F_1$ och inversmatrisen till $A$ för $a=1$ är
$$B=\begin{pmatrix}2&2&0\\0&-1&2\\0&0&2\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-3/4&1&-1/2\\1/4&0&1/2\end{pmatrix}.$$
Därför är matrisen för $H=F_1\circ F_2$
$$BA^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&0&-1\\5/4&-1&3/2\\1/2&0&1\end{pmatrix}.$$
Både $B$ och $A^{-1}$ är inverterbara, och alltså även $H$.
(Positivt orienterat ON-system i rummet). Låt $\Pi$ vara planet genom origo, som är parallellt med två linjer vars ekvationer på parameterform är givna av $(x, y, z) = t(2, 0, -2)$ och $(x, y, z) = t(0, 2, -2)$.
Beräkna matrisen till speglingen i planet $\Pi$.
Låt $\mathbf{u} = (1, 0, 0)$ och $\mathbf{v}$ dess bild under speglingen. Vad är arean av parallellogrammen som $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ spänner upp?
Riktningsvektorerna ger normalvektorn $(2,0,-2)\times(0,2,-2)=(4,4,4)$, så planet har ekvationen $x+y+z=0$. Med $\mathbf n=(1,1,1)$ är speglingen
$$S(\mathbf v)=\mathbf v-2\frac{\mathbf v\cdot\mathbf n}{\mathbf n\cdot\mathbf n}\mathbf n,$$
och dess matris är
$$\frac13\begin{pmatrix}1&-2&-2\\-2&1&-2\\-2&-2&1\end{pmatrix}.$$
För $\mathbf u=(1,0,0)$ fås $S(\mathbf u)=(1,-2,-2)/3$. Alltså är parallellogrammens area
$$\lVert\mathbf u\times S(\mathbf u)\rVert=\frac{2\sqrt2}{3}.$$
Tre linjärt oberoende vektorer $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$ i rummet är givna. Definiera, för varje reellt tal $a$, en vektor $\mathbf{f}_a = \mathbf{u}_1 + a\mathbf{u}_2 + a^2\mathbf{u}_3$. Visa att $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$ är linjärt oberoende, och alltså en bas. Bestäm koordinaterna för vektorn $\mathbf{u}_1 + 10\mathbf{u}_2 + 100\mathbf{u}_3$ i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3)$.
I basen $(\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3)$ har $\mathbf f_1,\mathbf f_2,\mathbf f_3$ kolonnerna
$$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}.$$
Dess determinant är $2\ne0$, så de är en bas. Skriv
$$\mathbf u_1+10\mathbf u_2+100\mathbf u_3=\lambda_1\mathbf f_1+\lambda_2\mathbf f_2+\lambda_3\mathbf f_3.$$
Jämförelse av koordinater ger
$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1,\quad\lambda_1+2\lambda_2+3\lambda_3=10,\quad\lambda_1+4\lambda_2+9\lambda_3=100.$$
Lösningen är $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(28,-63,36)$.
En mängd $M$ av $30$ punkter i ett plan har egenskapen att ingen uppsättning av tre olika punkter i $M$ ligger på en linje.
En triangel är bestämd av sina hörn, alltså tre punkter som inte ligger på en linje. Hur många trianglar som har alla sina hörn bland de $30$ kan man bilda?
$M = A\cup B$ är en disjunkt union av delmängderna $A$ och $B$ som har $14$ respektive $16$ element(disjunkt betyder att $A\cap B = \varnothing$). Hur många trianglar med åtminstone två hörn i $A$ kan man bilda?
(a) Varje val av tre punkter ger en triangel, så antalet är
$$\binom{30}{3}=4060.$$
(b) Antingen väljs exakt två eller tre hörn i $A$:
$$\binom{14}{2}\cdot16+\binom{14}{3}=1456+364=1820.$$
Polynomet $p(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 4x - 6$ är givet.
Det har två nollställen som är heltal. Bestäm alla, också eventuellt komplexa, nollställen.
Bestäm resten av $(x^{13} + 17)p(x)^{1000}$ vid division med $x + 1$(Exponentialuttryck accepteras i svaret.)
(a) Heltalsrötter måste dela $-6$. Prövning och faktorisering ger
$$p(x)=(x-1)(x+3)(x^2+2).$$
Nollställena är $1$, $-3$, $i\sqrt2$ och $-i\sqrt2$.
(b) Restsatsen ger resten som värdet vid $x=-1$:
$$((-1)^{13}+17)p(-1)^{1000}=16(-12)^{1000}=16\cdot12^{1000}.$$