Hela algebra · 2011-01-10
Tre linjärt oberoende vektorer $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$ i rummet är givna. Definiera, för varje reellt tal $a$, en vektor $\mathbf{f}_a = \mathbf{u}_1 + a\mathbf{u}_2 + a^2\mathbf{u}_3$. Visa att $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$ är linjärt oberoende, och alltså en bas. Bestäm koordinaterna för vektorn $\mathbf{u}_1 + 10\mathbf{u}_2 + 100\mathbf{u}_3$ i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3)$.
I basen $(\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3)$ har $\mathbf f_1,\mathbf f_2,\mathbf f_3$ kolonnerna
$$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}.$$
Dess determinant är $2\ne0$, så de är en bas. Skriv
$$\mathbf u_1+10\mathbf u_2+100\mathbf u_3=\lambda_1\mathbf f_1+\lambda_2\mathbf f_2+\lambda_3\mathbf f_3.$$
Jämförelse av koordinater ger
$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1,\quad\lambda_1+2\lambda_2+3\lambda_3=10,\quad\lambda_1+4\lambda_2+9\lambda_3=100.$$
Lösningen är $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(28,-63,36)$.