Hela algebra · 2011-01-10

Uppgift 6

Uppgift 6

Polynomet $p(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 4x - 6$ är givet.

(a)

Det har två nollställen som är heltal. Bestäm alla, också eventuellt komplexa, nollställen.

(b)

Bestäm resten av $(x^{13} + 17)p(x)^{1000}$ vid division med $x + 1$(Exponentialuttryck accepteras i svaret.)

Visa lösningDölj lösning

(a) Heltalsrötter måste dela $-6$. Prövning och faktorisering ger
$$p(x)=(x-1)(x+3)(x^2+2).$$
Nollställena är $1$, $-3$, $i\sqrt2$ och $-i\sqrt2$.

(b) Restsatsen ger resten som värdet vid $x=-1$:
$$((-1)^{13}+17)p(-1)^{1000}=16(-12)^{1000}=16\cdot12^{1000}.$$