Hela algebra · 2011-01-10
(Positivt orienterat ON-system i rummet). Låt $\Pi$ vara planet genom origo, som är parallellt med två linjer vars ekvationer på parameterform är givna av $(x, y, z) = t(2, 0, -2)$ och $(x, y, z) = t(0, 2, -2)$.
Beräkna matrisen till speglingen i planet $\Pi$.
Låt $\mathbf{u} = (1, 0, 0)$ och $\mathbf{v}$ dess bild under speglingen. Vad är arean av parallellogrammen som $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ spänner upp?
Riktningsvektorerna ger normalvektorn $(2,0,-2)\times(0,2,-2)=(4,4,4)$, så planet har ekvationen $x+y+z=0$. Med $\mathbf n=(1,1,1)$ är speglingen
$$S(\mathbf v)=\mathbf v-2\frac{\mathbf v\cdot\mathbf n}{\mathbf n\cdot\mathbf n}\mathbf n,$$
och dess matris är
$$\frac13\begin{pmatrix}1&-2&-2\\-2&1&-2\\-2&-2&1\end{pmatrix}.$$
För $\mathbf u=(1,0,0)$ fås $S(\mathbf u)=(1,-2,-2)/3$. Alltså är parallellogrammens area
$$\lVert\mathbf u\times S(\mathbf u)\rVert=\frac{2\sqrt2}{3}.$$