Hela algebra · 2011-05-03

Uppgift 6

Uppgift 6

Anta att $a$ och $b$ är två heltal sådana att $a > b\ge 0$. Låt $\mathbf{u} = (1, 2, a)$, $\mathbf{v} = (3, b, 1)$. Bestäm $a$ och $b$ så att $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ blir ortogonal mot $\mathbf{u} - \mathbf{v}$. Bestäm därefter en vektor $\mathbf{w}\ne\mathbf{0}$ som är ortogonal mot både $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$. (ON system)

Visa lösningDölj lösning

Ortogonalitetsvillkoret är $$(\mathbf u+\mathbf v)\cdot(\mathbf u-\mathbf v)=a^2-b^2-5=0.$$ Alltså $(a-b)(a+b)=5$, och eftersom $a>b\ge0$ fås $a=3$, $b=2$. Då är $\mathbf u=(1,2,3)$ och $\mathbf v=(3,2,1)$. En lösning till $$x+2y+3z=0,\qquad3x+2y+z=0$$ är $\mathbf w=(1,-2,1)$.