Uppgift 1
Bestäm alla reella $x$ som satisfierar olikheten $3\lvert x - 2\rvert < \lvert x - 3\rvert$.
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2011-05-03
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Vi delar vid $2$ och $3$. Då fås villkoren $x>3/2$, $x<9/4$ respektive $x<3/2$. Endast de två första intervallen bidrar, och lösningen är $$\frac32<x<\frac94.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Skriv $(-1 + \sqrt{3}i)^{-15}$ på formen $a + ib$.
Visa lösningDölj lösning
Talet har absolutbelopp $2$ och argument $120^\circ$. Med de Moivres formel fås $$(-1+\sqrt3i)^{-15}=2^{-15}(\cos(-1800^\circ)+i\sin(-1800^\circ))=2^{-15}.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
Lös ekvationen $iz^2 + (2 - 4i)z - 8 + 6i = 0$.
Visa lösningDölj lösning
Division med $i$ ger $z^2-(4+2i)z+6+8i=0$, alltså $$(z-(2+i))^2=-3-4i.$$ Rötterna till högerledet är $1-2i$ och $-1+2i$, så $$z=3-i\quad\text{eller}\quad z=1+3i.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
En palindrom är ett ord som läses likadant framåt och bakåt. Till exempel är ordet “abcdcba” en palindrom. Alfabetet består av 29 olika symboler.
(a)
Hur många olika palindromer med längd $7$ kan man bilda i detta alfabet?
(b)
Hur många olika palindromer med längd $7$ kan man bilda i detta alfabet då ingen symbol får förekomma mer än två gånger?
Visa lösningDölj lösning
(a) De fyra första symbolerna bestämmer resten av en palindrom med längd $7$. Antalet är därför $$29^4.$$
(b) De fyra första symbolerna måste vara olika. Antalet blir $$29\cdot28\cdot27\cdot26=\frac{29!}{25!}.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Avgör för vilka värden på konstanten $b$, som ekvationssystemet nedan en enda lösning, oändligt många lösningar eller inga lösningar alls.
$$\begin{cases} 2x + (1 - b)y + 2z = b + 1 \\ (2 + b)x - y + z = b \\ (2 + 2b)x - y + (1 + b)z = b - 1. \end{cases}$$
Visa lösningDölj lösning
Koefficientmatrisens determinant är $$b(b^2-1).$$ För $b\notin\{-1,0,1\}$ är den skild från noll och systemet har en unik lösning. Direkt Gausselimination för $b=-1,0,1$ ger motsägelse i samtliga tre fall. Alltså saknas lösning för $b\in\{-1,0,1\}$, och det finns inga värden som ger oändligt många lösningar.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Anta att $a$ och $b$ är två heltal sådana att $a > b\ge 0$. Låt $\mathbf{u} = (1, 2, a)$, $\mathbf{v} = (3, b, 1)$. Bestäm $a$ och $b$ så att $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ blir ortogonal mot $\mathbf{u} - \mathbf{v}$. Bestäm därefter en vektor $\mathbf{w}\ne\mathbf{0}$ som är ortogonal mot både $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$. (ON system)
Visa lösningDölj lösning
Ortogonalitetsvillkoret är $$(\mathbf u+\mathbf v)\cdot(\mathbf u-\mathbf v)=a^2-b^2-5=0.$$ Alltså $(a-b)(a+b)=5$, och eftersom $a>b\ge0$ fås $a=3$, $b=2$. Då är $\mathbf u=(1,2,3)$ och $\mathbf v=(3,2,1)$. En lösning till $$x+2y+3z=0,\qquad3x+2y+z=0$$ är $\mathbf w=(1,-2,1)$.