Uppgift 4

Vi använder induktion. För $n=1$ gäller likhet: $\binom21=2=4/(2\sqrt1)$. Antag nu påståendet för ett visst $n\ge1$. Då är

$$\binom{2n+2}{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+1}\binom{2n}{n}\ge \frac{4^n(2n+1)}{(n+1)\sqrt n}.$$

Vidare gäller

$$(2n+1)^2-4n(n+1)=1>0,$$

vilket ger

$$\frac{2n+1}{(n+1)\sqrt n}\ge\frac2{\sqrt{n+1}}.$$

Följaktligen är $\binom{2n+2}{n+1}\ge 4^{n+1}/(2\sqrt{n+1})$, och induktionen är klar.