Uppgift 1
Linjerna $\ell_1$ och $\ell_2$ ges av
$$(x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, 3, 0) \qquad\text{resp.}\qquad (x, y, z) = (2, 0, -2) + t(1, 2, 1).$$
Visa att $\ell_1$ och $\ell_2$ skär varandra.
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2012-01-09
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösningⓘ
Använd skilda parametrar $t$ och $s$ för de två linjerna. Ur $z$-koordinaten fås $1=-2+s$, alltså $s=3$. Därefter ger $y$-koordinaten $3t=2s=6$, så $t=2$. Även $x$-koordinaterna stämmer, eftersom
$$1+2\cdot2=2+3=5.$$
Linjerna skär alltså varandra i punkten $(5,6,1)$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Bestäm avståndet mellan $(1, 2, 3)$ och planet, som ges av
$$x - y + z = 1.$$
Visa lösningDölj lösningⓘ
Planet skrivs $x-y+z-1=0$ och har normalvektor $(1,-1,1)$. Avståndet från $(1,2,3)$ är därför
$$\frac{\lvert1-2+3-1\rvert}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac1{\sqrt3}.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
Ekvationen
$$z^3 - z^2 - (3 + 3i)z + 2 + 6i = 0$$
har en reell lösning. Lös ekvationen.
Visa lösningDölj lösningⓘ
Den reella roten är $z=2$. Polynomdivision ger faktoriseringen
$$z^3-z^2-(3+3i)z+2+6i=(z-2)(z-1-i)(z+2+i).$$
Samtliga lösningar är alltså
$$z=2,\qquad z=1+i,\qquad z=-2-i.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Visa att
$$\binom{2n}{n}\ge\frac{4^n}{2\sqrt{n}}$$
för alla heltal $n\ge 1$.
Visa lösningDölj lösningⓘ
Vi använder induktion. För $n=1$ gäller likhet: $\binom21=2=4/(2\sqrt1)$. Antag nu påståendet för ett visst $n\ge1$. Då är
$$\binom{2n+2}{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+1}\binom{2n}{n}\ge \frac{4^n(2n+1)}{(n+1)\sqrt n}.$$
Vidare gäller
$$(2n+1)^2-4n(n+1)=1>0,$$
vilket ger
$$\frac{2n+1}{(n+1)\sqrt n}\ge\frac2{\sqrt{n+1}}.$$
Följaktligen är $\binom{2n+2}{n+1}\ge 4^{n+1}/(2\sqrt{n+1})$, och induktionen är klar.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Skriv talet
$$\frac{(1 - i)^{12}}{(\sqrt{3} + i)^{12}}$$
på formen $a + ib$, där $a$ och $b$ är reella tal.
Visa lösningDölj lösningⓘ
Vi har
$$1-i=\sqrt2e^{-i\pi/4},\qquad \sqrt3+i=2e^{i\pi/6}.$$
Därför blir kvoten
$$\left(\frac1{\sqrt2}e^{-5i\pi/12}\right)^{12}=\frac1{64}e^{-5i\pi}=-\frac1{64}.$$
På formen $a+ib$ är svaret alltså $-1/64+0i$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Betrakta uttrycket
$$4A^2 + 6AB - 6BA - 9B^2.$$
(a)
Antag att $A$ och $B$ är reella tal. Faktorisera uttrycket ovan.
(b)
Antag att $A$ och $B$ är kvadratiska matriser. Faktorisera uttrycket ovan. Motivera noga.
Visa lösningDölj lösningⓘ
(a) För reella tal gäller $AB=BA$, så uttrycket reduceras till $4A^2-9B^2$ och
$$4A^2+6AB-6BA-9B^2=(2A-3B)(2A+3B).$$
(b) Samma faktorisering fungerar även för matriser, men nu får mittentermerna inte strykas. Direkt multiplikation ger
$$(2A-3B)(2A+3B)=4A^2+6AB-6BA-9B^2.$$
Ordningen på faktorerna är väsentlig eftersom matriser i allmänhet inte kommuterar.