Hela algebra · 2012-05-23

Uppgift 4

Uppgift 4

(a)

Bestäm matriserna för de tre speglingsavbildningarna som speglar rummet i planen $x = y$, $y = z$ respektive $z = x$. (ON-system)

(b)

Var hamnar punkten $(x, y, z)$ om vi först speglar den i planet $x = y$, sedan i planet $y = z$ och till sist i planet $z = x$? Visa att den sammansatta effekten är ekvivalent med en enda spegling i ett plan och bestäm detta plan. (b-uppgiften var felformulerad på tentan. Detta är den korrekta formuleringen.)

Visa lösningDölj lösning

Speglingarna i planen $x=y$, $y=z$, $z=x$ har matriser $$A_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}, A_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}, A_3=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}.$$ Produkten $A_3A_2A_1=A_2$, alltså en spegling i $y=z$.