Uppgift 1
Lös olikheten
$$\frac{x - 2}{x + 1}\ge\frac{x - 1}{x + 3}.$$
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2012-05-23
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
$$\frac{x-2}{x+1}-\frac{x-1}{x+3}=\frac{x-5}{(x+1)(x+3)}.$$ Teckenstudium ger lösningen $$-3<x<-1\quad\text{eller}\quad x\ge5.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
(a)
Bestäm volymen av den tetraeder som har hörn i punkterna $(1, 0, 1)$, $(2, 3, 0)$, $(-1, 2, 3)$ och $(0, 1, 4)$. (ON-system)
(b)
Bestäm ekvationen på normalform för det plan som går genom hörnet $(0, 1, 4)$ och är parallellt med den motstående sidan i tetraedern i a).
Visa lösningDölj lösning
Med hörnet $(1,0,1)$ blir kantvektorerna $(1,3,-1)$, $(-2,2,2)$ och $(-1,1,3)$. Tetraedervolymen är $$\frac16|\det\begin{pmatrix}1&-2&-1\\3&2&1\\-1&2&3\end{pmatrix}|=\frac83.$$ Motstående sidoplan har ekvationen $x+z-4=0$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
(a)
Bestäm alla lösningar till den Diofantiska ekvationen $13x + 20y = 11$.
(b)
Hur många sådana lösningar $(x, y)$ finns det som ligger innanför den cirkel i planet som har centrum i origo och radie $20$?
Visa lösningDölj lösning
Euklides algoritm ger $1=2\cdot20-3\cdot13$. För $13x+20y=11$ fås $$x=-33+20n,\qquad y=22-13n.$$ Kravet $x^2+y^2<400$ lämnar $n=1,2$, alltså $(-13,9)$ och $(7,-4)$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
(a)
Bestäm matriserna för de tre speglingsavbildningarna som speglar rummet i planen $x = y$, $y = z$ respektive $z = x$. (ON-system)
(b)
Var hamnar punkten $(x, y, z)$ om vi först speglar den i planet $x = y$, sedan i planet $y = z$ och till sist i planet $z = x$? Visa att den sammansatta effekten är ekvivalent med en enda spegling i ett plan och bestäm detta plan. (b-uppgiften var felformulerad på tentan. Detta är den korrekta formuleringen.)
Visa lösningDölj lösning
Speglingarna i planen $x=y$, $y=z$, $z=x$ har matriser $$A_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}, A_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}, A_3=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}.$$ Produkten $A_3A_2A_1=A_2$, alltså en spegling i $y=z$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm alla komplexa tal $z$, där både real- och imaginärdel är heltal, som samtidigt uppfyller de båda olikheterna $3 < \lvert z - 3\rvert < 4$ och $3 < \lvert z + 3\rvert < 4$. (Ledning: Rita en figur!)
Visa lösningDölj lösning
Båda olikheterna tvingar realdelen till $0$. Prövning av de återstående heltalsvärdena ger $$z\in\{-2i,-i,i,2i\}.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Låt $n\ge 1$ vara ett heltal.
(a)
Visa att
$$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \dots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0.$$
(b)
Motivera varför det i en ändlig mängd alltid finns lika många delmängder med ett jämnt antal element som med ett udda antal element.
Visa lösningDölj lösning
(a) Binomialsatsen på $(1-1)^n$ ger $$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk=0.$$
(b) Flytta de negativa termerna till andra sidan. Då fås att summan av de jämna binomialkoefficienterna är lika med summan av de udda.