Hela algebra · 2012-08-17
Ett komplext tal $z$ kallas för ett Gaussiskt heltal om både $\operatorname{Re}(z)$ och $\operatorname{Im}(z)$ är heltal. Bestäm hur många Gaussiska heltal det finns med absolutbelopp mindre än eller lika med 10 som uppfyller ekvationen $7\operatorname{Re}(z)+9\operatorname{Im}(z)=3$. Ange även dessa Gaussiska heltal.
Skriv $z=x+iy$. Då måste heltalen $x$ och $y$ uppfylla den diofantiska ekvationen $7x+9y=3$. Euklides algoritm ger
$$9=1\cdot7+2,\qquad 7=3\cdot2+1,\qquad 2=2\cdot1.$$
Alltså är $1=7-3\cdot2=7-3(9-7)=4\cdot7-3\cdot9$, så $x_0=4$, $y_0=-3$ är en partikulärlösning till $7x+9y=1$. Den allmänna lösningen till $7x+9y=3$ är
$$x=3\cdot4-9k,\qquad y=3(-3)+7k.$$
De lösningar som uppfyller $\lvert x\rvert\le10$ och $\lvert y\rvert\le10$ är $(3,-2)$ och $(-6,5)$. Båda talen $z_1=3-2i$ och $z_2=-6+5i$ har belopp mindre än $10$.
Svar: $z_1=3-2i$ och $z_2=-6+5i$.