Tenta 2012-08-17

Vi delar upp i tre fall.

I. För $2 \le x$ kan ekvationen skrivas som $(x-2)-2(x+3)=2$, vilket ger $x=-10$. Eftersom detta värde inte tillhör fallet finns här ingen lösning.

II. För $-3 \le x<2$ kan ekvationen skrivas som $-(x-2)-2(x+3)=2$, vilket ger $-3x=6$ och alltså $x=-2$. Värdet uppfyller villkoret och är en äkta rot.

III. För $x<-3$ kan ekvationen skrivas som $-(x-2)+2(x+3)=2$, vilket ger $x=-6$. Värdet uppfyller villkoret och är en äkta rot.

Svar: $x=-2$ och $x=-6$.

Att undersöka planens skärningsmängd är ekvivalent med att lösa systemet

$$\begin{cases}x+3y+2z=a,\\x+ay+2z=2,\\x+3y+az=2.\end{cases}$$

Fall med icke-entydig lösning kan bara inträffa då determinanten är noll. Här är determinanten $a^2-5a+6$, vars nollställen är $a=2$ och $a=3$.

För $a=3$ blir de två första ekvationerna motstridiga, varför planen saknar gemensam punkt. För $a=2$ är den första och den tredje ekvationen identiska. Då återstår

$$\begin{cases}x+3y+2z=2,\\x+2y+2z=2.\end{cases}$$

Subtraktion ger $y=0$. Sätter vi $z=t$ får vi $x=2-2t$, så skärningen är linjen $(x,y,z)=(2-2t,0,t)$.

Svar: För $a=3$ saknas skärningspunkt. För $a=2$ är skärningen $(x,y,z)=(2-2t,0,t)$.

Skriv $z=x+iy$. Då måste heltalen $x$ och $y$ uppfylla den diofantiska ekvationen $7x+9y=3$. Euklides algoritm ger

$$9=1\cdot7+2,\qquad 7=3\cdot2+1,\qquad 2=2\cdot1.$$

Alltså är $1=7-3\cdot2=7-3(9-7)=4\cdot7-3\cdot9$, så $x_0=4$, $y_0=-3$ är en partikulärlösning till $7x+9y=1$. Den allmänna lösningen till $7x+9y=3$ är

$$x=3\cdot4-9k,\qquad y=3(-3)+7k.$$

De lösningar som uppfyller $\lvert x\rvert\le10$ och $\lvert y\rvert\le10$ är $(3,-2)$ och $(-6,5)$. Båda talen $z_1=3-2i$ och $z_2=-6+5i$ har belopp mindre än $10$.

Svar: $z_1=3-2i$ och $z_2=-6+5i$.

a) Godkäntgränsen kan väljas som vilket som helst av talen $1,2,3,\dots,20$, så svaret är $20$.

b) G- och VG-gränserna kan väljas genom att välja två olika tal bland $1,2,3,\dots,20$. Antalet möjligheter är

$$\binom{20}{2}=190.$$

c) E-, D-, C-, B- och A-gränserna kan väljas genom att välja fem olika tal bland $1,2,3,\dots,20$. Antalet möjligheter är

$$\binom{20}{5}=15504.$$

Svar: a) $20$, b) $190$, c) $15504$.

a) Av figuren ser vi att

$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}$$

och

$$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{DC}=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$

b) Arean av en triangel som spänns upp av två vektorer är hälften av beloppet av deras vektorprodukt, medan parallellogrammens area är beloppet av vektorprodukten. Enligt a) får vi

$$\begin{aligned}\text{triangelarean}&=\frac12\lVert\overrightarrow{AE}\times\overrightarrow{AF}\rVert\\&=\frac12\left\lVert\left(\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}\right)\times\left(\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\right\rVert\\&=\frac12\cdot\frac34\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\rVert\\&=\frac38\cdot\text{rektangelarean}.\end{aligned}$$

Här har vi använt att $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AD}=\mathbf{0}$ och att $\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}$.

Svar: Förhållandet mellan triangelarean och rektangelarean är $\frac38$.

a) Projektionen avbildar $(x,y,z)$ på

$$P(x,y,z)=(x,y,z)+t(3,2,-1)=(x+3t,y+2t,z-t),$$

där $t$ bestäms av villkoret att punkten ligger i planet:

$$3(x+3t)+2(y+2t)-(z-t)=0,\qquad t=-\frac1{14}(3x+2y-z).$$

Alltså

$$P(x,y,z)=\frac1{14}(5x-6y+3z,-6x+10y+2z,3x+2y+13z).$$

Vi får därför

$$A=\frac1{14}\begin{pmatrix}5&-6&3\\-6&10&2\\3&2&13\end{pmatrix}.$$

b) För en ortogonal projektion gäller $P^2=P$. Om $\mathbf{u}$ ligger i planet, är både $P^2\mathbf{u}$ och $P\mathbf{u}$ lika med $\mathbf{u}$. Om $\mathbf{v}$ är vinkelrät mot planet, är båda lika med nollvektorn. Varje vektor kan delas upp som $\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}$, där den ena komponenten är parallell med planet och den andra ortogonal mot det. Därför gäller $P^2\mathbf{w}=P\mathbf{w}$ för alla $\mathbf{w}$, och alltså $A^2=A$. Följaktligen är $A^n=A$ för alla positiva heltal $n$.

Svar: $A^n=A$ för alla positiva heltal $n$.