Hela algebra · 2012-08-17
Betrakta en parallellogram $ABCD$ (hörnen ordnade moturs). Låt $E$ vara mittpunkten på sidan $BC$ och låt $F$ vara mittpunkten på sidan $CD$.
Uttryck vektorerna $\overrightarrow{AE}$ och $\overrightarrow{AF}$ i basen $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$.
Vad är förhållandet mellan triangeln $AEF$:s area och hela $ABCD$:s area? Resonemanget måste vara tillämpligt på vilken parallellogram som helst.
a) Av figuren ser vi att
$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}$$
och
$$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{DC}=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$
b) Arean av en triangel som spänns upp av två vektorer är hälften av beloppet av deras vektorprodukt, medan parallellogrammens area är beloppet av vektorprodukten. Enligt a) får vi
$$\begin{aligned}\text{triangelarean}&=\frac12\lVert\overrightarrow{AE}\times\overrightarrow{AF}\rVert\\&=\frac12\left\lVert\left(\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}\right)\times\left(\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\right\rVert\\&=\frac12\cdot\frac34\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\rVert\\&=\frac38\cdot\text{rektangelarean}.\end{aligned}$$
Här har vi använt att $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AD}=\mathbf{0}$ och att $\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}$.
Svar: Förhållandet mellan triangelarean och rektangelarean är $\frac38$.