Uppgift 6

a) Projektionen avbildar $(x,y,z)$ på

$$P(x,y,z)=(x,y,z)+t(3,2,-1)=(x+3t,y+2t,z-t),$$

där $t$ bestäms av villkoret att punkten ligger i planet:

$$3(x+3t)+2(y+2t)-(z-t)=0,\qquad t=-\frac1{14}(3x+2y-z).$$

Alltså

$$P(x,y,z)=\frac1{14}(5x-6y+3z,-6x+10y+2z,3x+2y+13z).$$

Vi får därför

$$A=\frac1{14}\begin{pmatrix}5&-6&3\\-6&10&2\\3&2&13\end{pmatrix}.$$

b) För en ortogonal projektion gäller $P^2=P$. Om $\mathbf{u}$ ligger i planet, är både $P^2\mathbf{u}$ och $P\mathbf{u}$ lika med $\mathbf{u}$. Om $\mathbf{v}$ är vinkelrät mot planet, är båda lika med nollvektorn. Varje vektor kan delas upp som $\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}$, där den ena komponenten är parallell med planet och den andra ortogonal mot det. Därför gäller $P^2\mathbf{w}=P\mathbf{w}$ för alla $\mathbf{w}$, och alltså $A^2=A$. Följaktligen är $A^n=A$ för alla positiva heltal $n$.

Svar: $A^n=A$ för alla positiva heltal $n$.